Bài tập Toán cao cấp

0 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - MARKETING 
KHOA CƠ BẢN 
Bộ Môn Toán – Thống kê 
BÀI TẬP 
TOÁN CAO CẤP 
(Lưu hành nội bộ) 
TP. Hồ Chí Minh 2015 
1 
LỜI GIỚI THIỆU 
Các bạn đang có trong tay cuốn sách “Bài tập Toán cao cấp” 
dành cho sinh viên hệ Đại học chính quy, trường Đại học Tài chính 
– Marketing. Từ năm học 2015 -2016, để thống nhất về nội dung 
học tập, đánh giá kết quả và giảng dạy môn Toán Cao Cấp, Bộ 
môn Toán – Thống kê, Khoa Cơ Bản, cho biên soạn cuốn sách này. 
Cuốn bài tập này do các giảng viên của Bộ môn Toán - Thống kê 
biên soạn, trên cơ sở các tài liệu đã được sử dụng giảng dạy tại 
trường Đại học Tài chính – Marketing trong nhiều năm qua và đã 
được Hội đồng thẩm định giáo trình của Nhà trường thông qua. 
 Nội dung cuốn bài tập này bám sát Đề cương chi tiết và nội 
dung lý thuyết môn học Toán cao cấp của trường Đại học Tài chính 
– Marketing, cũng như các dạng bài trong ngân hàng câu hỏi thi hết 
học phần môn Toán cao cấp. 
 Trước phần bài tập của mỗi chương, chúng tôi nêu các yêu 
cầu đối với sinh viên để các em nắm được các nội dung cũng như 
các kĩ năng cần rèn luyện. Các bài tập được sắp xếp từ kiểm tra 
kiến thức cơ bản, đến bài tập tổng hợp, có một số bài tập nâng cao 
(có đánh dấu *) để sinh viên tham khảo thêm. 
Phần cuối sách, chúng tôi có biên soạn một số đề tổng hợp để 
sinh viên tham khảo và thử sức, tự đánh giá trình độ của mình. 
Hy vọng, cuốn sách là tài liệu bổ ích giúp sinh viên trường 
Đại học Tài chính – Marketing học tốt môn Toán cao cấp và thi kết 
thúc học phần đạt kết quả cao! 
Lần đầu tiên biên soạn cuốn Bài tập này nên chắc chắn không 
tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của sinh viên và 
các thầy cô giáo, để lần xuất bản sau được hoàn thiện hơn! Mọi ý 
kiến góp ý xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Toán – Thống kê, Khoa Cơ 
Bản, trường Đại học Tài chính – Marketing. 
2 
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn và trân trọng giới thiệu 
cuốn sách cùng các bạn! 
 TP. Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 9 năm 2015 
 Bộ môn Toán – Thống kê 
3 
MỤC LỤC 
Lời giới thiệu ................................................................................... 1 
Chương 1. Ma trận – Định thức ....................................................... 5 
A. Yêu cầu đối với sinh viên .......................................................... 5 
B. Bài tập ..................................................................................... 5 
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính ......................................... 20 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 20 
B. Bài tập ....................................................................................... 20 
Chương 3. Không gian vectơ ......................................................... 30 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 30 
B. Bài tập ....................................................................................... 30 
Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến .................................. 42 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 42 
B. Bài tập ....................................................................................... 42 
Chương 5. Tích phân ..................................................................... 55 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 55 
B. Bài tập ....................................................................................... 55 
Chương 6. Phép tính vi phân hàm nhiều biến ................................ 66 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 66 
B. Bài tập ....................................................................................... 66 
Chương 7. Phương trình vi phân ................................................... 76 
A. Yêu cầu đối với sinh viên ......................................................... 76 
B. Bài tập ....................................................................................... 76 
Một số đề luyện tập ........................................................................ 82 
Tài liệu tham khảo ......................................................................... 96 
4 
5 
Chương 1 
MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 
A. Yêu cầu đối với sinh viên 
1. Nắm vững các khái niệm cơ bản về ma trận và các dạng 
ma trận đặc biệt; biết thực hiện phép cộng hai ma trận cùng cấp và 
phép nhân ma trận với một số thực. Chú ý tới phép biến đổi sơ cấp 
trên ma trận. 
2. Nắm vững định nghĩa, cách tính định thức ma trận vuông 
và một số tính chất căn bản của định thức. 
3. Nắm vững khái niệm ma trận nghịch đảo và hai phương 
pháp tìm ma trận nghịch đảo. 
4. Nắm được khái niệm hạng ma trận, các phương pháp tìm 
hạng ma trận. 
5. Biết vận dụng kiến thức về ma trận, định thức để giải một 
số mô hình kinh tế. 
B. Bài tập 
Bài 1: 
Thực hiện các phép tính trên các ma trận sau: 
1. Tính 5A 3B 2C , biết : 
1 2
A 1 0
2 1
, 
1 3
B 2 1
3 2
 và 
2 5
C 0 3
4 2
. 
6 
2. Tính AB, BA biết: 
2 1
A 1 0
3 4
 và 
1 2 5
B
3 4 0
. 
3. Tính AB, BA biết: 
1 3 2
A 3 4 1
2 5 3
 và 
2 5 6
B 1 2 5
1 3 2
 Đáp số: 
 1) 
6 11
5A 3B 2C 11 3
27 15
. 
2) 
1 8 10
15 19
AB 1 2 5 ; BA
10 3
9 22 15
. 
 3) 
1 5 5 29 55 27
AB 3 10 0 ; BA 17 36 19
2 9 7 14 25 11
. 
Bài 2: 
Cho 
2 0 1
A 3 1 2
0 1 0
. Tính 2 3f A A – 5A 3I . 
7 
Đáp số : 
3 1 3
6 3 5
3 4 1
f A
 . 
Bài 3: 
Cho các ma trận: 
2 1 3
A
0 1 2
, 
2 1
B 0 2
1 1
 , 
1 1
C
0 1
. 
1. Có thể thành lập được tích của các ma trận nào trong các 
ma trận trên. 
2. Tính AB , ABC . 
3. Tính 
3 nAB , C với n . 
4. Tìm ma trận chuyển vị của A và tính ATC. 
Đáp số: 
1) AB, BC, CB, CA; 
 2) 
1 3 1 4
AB , ABC
2 0 2 2
; 
 3) 
3
11 15
(AB)
10 6
; 
 4) 
T
2 0
A 1 1
3 2
 , 
T
2 2
A C 1 0
3 5
. 
8 
Bài 4: 
Cho ma trận 
1 2 6
A 4 3 8
2 2 5
. Tìm ma trận X sao cho 
33A 2X I . 
Đáp số : 
1 3 9
X 6 4 12
3 3 7
. 
Bài 5: 
Tính các định thức sau: 
1. 
2 0 1
3 2 3
1 3 5
 2. 
1 0 0
3 2 4
4 1 3
3. 
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3 
4.
1 0 2 a
2 0 b 0
3 c 4 5
d 0 0 0 
5. 
x a b 0 c
0 y 0 0 d
0 e z 0 f
g h k u l
0 0 0 0 v
 6. 
2 1 1 1 1
1 3 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 6
9 
7. 
3 0 2 4
1 5 m 3
4 2 3 5
2 1 6 2
8. 
2 3 4 5
1 0 m 3
3 1 1 4
2 7 5 2
Đáp số: 
1) 5 ; 2) 10 ; 3) 160 ; 4) abcd ; 
5) xyzuv ; 6) 394 ; 7) 29m 145 ; 8)3429m 551 . 
Bài 6: 
Chứng tỏ rằng các định thức sau bằng không. 
1. 
a b c 1
b c a 1
c a b 1
 2. 
x p ax bp
y q ay bq
z r az br
3. 
22 2
22 2
22 2
ab a b a b
bc b c b c
ca c a c a
 4. 
a b c 1
b c a 1
c a b 1
c b b a a c 2 
Hướng dẫn : 1) Lấy cột 1 cộng cột 2; 2) Từ cột 3, ta tách làm 
hai ma trận có cùng cột 1 và 2 ; 3) Lấy cột 2 cộng 2 lần cột 1; 4) 
Lấy cột 1 cộng cột 2 và cột 3. 
Bài 7: Chứng minh rằng: 
2
2
2
1 a a
1 b b b a c a c b
1 c c
Hướng dẫn : Biến đổi sơ cấp hoặc dùng qui tắc 6 đường chéo. 
10 
Bài 8: 
Tìm x sao cho: 
2 31 x x x
1 2 4 8
= 0.
1 3 9 27
1 4 16 64
Đáp số : x 2 x 3 x 4   . 
Bài 9: 
Tính định thức cấp n sau: 
1. 
1 2 3 n
1 0 3 n
1 2 0 n
1 2 3 0
 2. 
a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
1 1 1 a
3. 
1 2 2 ... 2
2 2 2 ... 2
2 2 3 ... 2
... ... ... ... ...
2 2 2 ... n
 4. 
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
a + 2b a + 2b a + 2b
a + 2b a + 2b a + 2b
a + 2b a + 2b a + 2b
Đáp số : 1) n!; 2) 
n 1
a n 1 a 1
 ; 3) ; 4) 0 . 
11 
Bài 10: 
Các phần tử của ma trận vuông cấp 3 chỉ nhận giá trị 0 và 1. 
Tìm giá trị lớn nhất của định thức đó. 
Đáp số : 2. 
Bài 11: 
Tính định thức của ma trận vuông cấp n, biết rằng: 
1. 
ija min(i, j) 2. ija max(i, j) 
Đáp số: 1) 1; 2) n 1( 1) n . 
Bài 12: 
Cho 
2 1
A
1 2
 và 
1 1
B
1 1
. 
Tính 
n
1B AB , n rồi suy ra nA . 
Đáp số : 
n n n
n
1 n
n n
3 0 3 1 3 11
B AB ; A
20 1 3 1 3 1
. 
Bài 13: 
Cho 2
5 4
A M .
4 3
Chứng minh rằng : 2
2A 2A I 0. Suy ra 
1A . 
Hướng dẫn : Tính trực tiếp ta có điều phải chứng minh rồi 
suy ra 
1A . 
12 
Bài 14: 
Tìm a để ma trận sau khả nghịch và tính 1A . 
1 1 0
A 1 a 1
0 2 1
Đáp số : a 3 ; 1
a 2 1 1
1
A 1 1 1
a 3
2 2 a 1
. 
Bài 15: 
Tìm m sao cho các ma trận sau khả nghịch 
1. 
1 2 2
2 m 2 m 5
m 1 m 1
 2. 
1 1 1 m
1 1 m 1
1 m 1 1
m 1 1 1
Đáp số : 1) m 1 m 3  ; 2) m 1 m 3  . 
Bài 16: 
Tìm x sao cho: 
2
5 100
1 x x -1 x + 2
0 0 x -1 0
= 0.
x 1 x x - 2
0 0 x +1 x
Đáp số : x 0 x 1 x 1   . 
13 
Bài 17: 
Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau (nếu có ): 
1. 
1 1 1
1 2 1
2 3 1
 2. 
1 2 3
2 1 2
2 1 0
3. 
0 0 1 1
0 3 1 4
1 1 0 0
0 0 1 1
 4. 
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
Đáp số : 
1) 
1
1 4 3
A 1 3 2
1 1 1
 ; 2) 
1
3 1
1
2 2
A 2 3 2
5 3
2
2 2
 ; 
3) 
1
1 1 5
1
2 3 6
1 1 5
0
2 3 6
A
1 1
0 0
2 2
1 1
0 0
2 2
 ; 4) 
1
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
4 4 4 4
A
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
4 4 4 4
 . 
14 
Bài 18: 
Cho các ma trận 
-3 4 6
1 -1 2 8 3
A = ; B = ; C0 1 1
7 40 1 2
2 -3 -4
1. Tìm ma trận X sao cho : XA B . 
2. Tìm ma trận Y sao cho BY C . 
Đáp số : 1) 
7 4 11
X
2 2 3
 ;2) 
15 4m 7 4n
Y 7 2m 4 2n
m n
. 
Bài 19: 
Cho A là ma trận vuông cấp n, n 1 hãy tìm hạng của ma 
trận phụ hợp trong các trường hợp sau: 
1. rank(A) n . 
2. rank(A) n 2 . 
3. rank(A) n 1 . 
Đáp số :1. *rank(A ) n ; 2. *rank(A ) 0 ;3. *rank(A ) 1 . 
Bài 20: 
Cho ma trận A như sau: 
2 1 3 4
1 3 1 2
A
3 2 2 2
1 4 4 6
1. Tìm hạng của ma trận A. 
15 
2. Tìm ma trận phụ hợp của A. 
Đáp số : 1. rank(A) 2 ;2. *A 0 (ma trận O cấp n). 
Bài 21: 
Tính hạng của các ma trận sau: 
1. 
1 5 4 3 1
2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
4 9 10 5 2
2. 
3 1 1 2 1
1 1 2 4 5
1 1 3 6 9
12 2 1 2 10
3. 
1 5 4 3 1
2 1 2 1 0
5 3 8 1 1
4 9 10 5 2
4. 
0 1 3 4 5
1 0 2 3 4
3 2 0 5 12
4 3 5 0 5
Đáp số: 1) 3; 2) 2; 3) 2; 4) 4. 
Bài 22: 
Tùy theo m, tìm hạng của các ma trận sau: 
1. 
m 5m m
2m m 10m
m 2m 3m
 2. 
3 1 1 4
m 4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 3
3. 
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 m
 4. 
1 2 1 1 1
m 1 1 1 1
1 m 0 1 1
1 2 2 1 1
Đáp số : 1) m 0, rank 0; m 0,rank 2; 
16 
2) m 0, rank 02; m 0,rank 3; 
3) m 7, rank 2; m 7,rank 3; 
4) m 1, rank 3; m 1,rank 4. 
Bài 23*: 
Tính 
nA , biết rằng: 
1. 
cos x sin x
A
sin x cos x
3. 
4 1
A
0 3
2. 
2 1
A
1 2
4. 
3 1
1
2
A
1 3 1
2 2
Đáp số: 
1) 
n
cosnx sin nx
A
sin nx cosnx
; 
2)
n n
n
n n
3 1 3 11
A
2 3 1 3 1
; 
3) 
n n n
n
n
4 4 3
A
0 3
 ; 
4)
n
n n n
cos sin 2sin
6 6 6
A
n n n
sin cos sin
6 6 6
. 
17 
Bài 24*: 
Tìm a, b sao cho 
4
a b 3 1
b a 1 3
. 
Đáp số : 4 4a 2 cos k ; b 2 sin k
24 2 24 2
. 
Bài 25*: 
Cho hai ma trận 
2 0 0 2 1 0
A 1 1 0 ; B 0 1 0
0 0 2 0 0 2
Chứng minh rằng n ndet(A B ) chia hết cho n 12 . 
Hướng dẫn : 
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0
A 0 1 0 1 0 0 ;B 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
. 
Bài 26: 
Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và ma trận cầu cuối B như sau: 
0,1 0,3 170
A ; B
0,5 0,2 280
Hãy tìm ma trận tổng cầu X. 
18 
Đáp số : 
385,96
X
591,21
Bài 27: 
Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t là: 
0,2 0 0,3
A t 0,1 0,1 0,1
0,2 0,2 0,1
1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ năm t. 
2. Biết x(t) 800,1500,700 ,tìm sản lượng mỗi ngành 
năm t. 
 Hướng dẫn: 
a)  
1
C I A(t)
 ; b)  
1
X(t) I A(t) x(t)
 . 
Bài 28: 
Cho ma trận các hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị của năm t 
như sau: 
0,3 0,2 0,3
A 0,1 0,3 0,2
0,3 0,3 0,2
1. Tìm ma trận hệ số chi phí toàn bộ dạng giá trị năm t. Giải 
thích ý nghĩa kinh tế của phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận này. 
2. Năm (t 1) nhu cầu sản phẩm cuối cùng của các ngành là 
 180,150,100 (tỷ VNĐ). Tính giá trị sản lượng của các ngành, 
biết rằng các hệ số chi phí năm (t 1) và năm t như nhau. 
19 
Hướng dẫn: 
a)  
1
C I A(t)
 ; b)  
1
X(t 1) I A(t 1) x(t 1).
20 
Chương 2 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 
A. Yêu cầu đối với sinh viên 
1. Nắm được định nghĩa và các khái niệm cơ bản về hệ 
phương trình tuyến tính. Thành thạo giải hệ phương trình tuyến 
tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss. 
2. Nắm được định nghĩa hệ Cramer và cách giải hệ Cramer, 
phương pháp ma trận nghịch đảo, phương pháp Cramer (Định 
thức). 
3. Nội dung định lý Cronecker – Capelli về sự tồn tại nghiệm 
của hệ phương trình tuyến tính tổng quát. 
4. Biết vận dụng các kiến thức về hệ phương trình vào giải 
một số mô hình kinh tế. 
B. Bài tập 
Bài 1: 
Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp 
Cramer: 
1. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x 2x 6
2x 3x 7x 16
5x 2x x 16
2. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7x 2x 3x 15
5x 3x 2x 15
10x 11x 5x 36
21 
3. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x 2x 1
2x x 2x 4
4x x 4x 2
4. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3x 2x x 5
2x 3x x 1
2x x 3x 11
5. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x x 5x x 5
x x 3x 4x 1
3x 6x 2x x 8
2x 2x 2x 3x 2
6. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x x x 5
x 2x 3x 4x 3
4x x 2x 3x 7
3x 2x 3x 4x 2
7. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x x 3x 2x 4
3x 3x 3x 2x 6
3x x x 2x 6
3x x 3x x 6
 Đáp số: 
1) 3, 1, 1 ; 2) 2, 1, 1 ; 3) 1, 2, 2 ; 4) 2, 2, 3 ; 
5) 
1 4
2, , 0,
5 5
; 6) 
11 37 63
5, , ,
4 2 4
; 7) 2, 0, 0, 0 . 
22 
Bài 2: 
Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp 
Gauss: 
1. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x x 2x 10
3x 2x 2x 1
5x 4x 3x 4
2. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x x 7
2x x 4x 17
3x 2x 2x 14
3. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x x 3
2x 5x 4x 5
3x 4x 2x 12
4. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x x 3x 1
5x 2x 6x 5
3x x 4x 7
5. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x x 2x 8
3x 2x 4x 15
5x 4x x 1
6. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x 2x 1
3x x 2x 7
5x 3x 4x 2
23 
7. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2x 5x 3x 2x 4
3x 7x 2x 4x 9
5x 10x 5x 7x 22
8. 
1 2
2 3 4
1 2 3 4
2 4
x x 7
x x x 5
x x x x 6
x x 10
9. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x x 5
2x 5x x 3
x 3x 2x 1
10. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3x 2x 5x x 6
2x 3x x 5x 2
x x 6x 4x 3
5x 5x 4x 6x 7
Đáp số: 
1) 1, 2, 3 ; 2) 2, 1, 3 ; 3) 2, 1, 1 ; 
4) 3, 2, 1 ; 5) 1, 2, 4 ;6) 
10 2 3
, ,
7 7 2
; 
7) 11m 11, 5m 4, m, 1 ; 
8) 17, 24, 33, 14 ; 9. Vô nghiệm; 10. Vô nghiệm . 
24 
Bài 3: 
Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: 
1. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x x 0
2x 5x x 0
3x 2x x 0
2. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x x 2x 3x 0
2x 3x 3x x 0
5x 7x 4x x 0
3. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2x 2x x 0
3x x x 0
x 3x 2x 0
4 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
3x 2x 5x x 0
2x 3x x 5x 0
x 2x 4x 0
x x 4x 9x 0
5. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
x 3x 2x x 0
x x x x 0
4x x x x 0
4x 3x 4x x 0
6. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
6x 5x 7x 8x 0
6x 11x 2x 4x 0
6x 2x 3x 4x 0
x x x 0
25 
7. 
1 2 3
2 3 4
1 3 4
1 2 4
x 2x x 0
x 3x x 0
4x x x 0
x x 5x 0
8. 
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3x 4x 5x 7x 0
2x 3x 3x 2x 0
4x 11x 13x 16x 0
7x 2x x 3x 0
Đáp số: 
1) 0, 0, 0 ; 2) 5a 4b, 7a 7b, a, b ; 3) 0, 0, 0 ; 
4) 0, 0, 0, 0 ; 5) 6a, 15a, 20a, 11a ; 
6) 0, 0, 0, 0 ;7) 0, 0, 0, 0 ; 
8) 3a 13b, 19a 20b, 17a, 17b . 
Bài 4: 
Giải và biện luận các h ... sin t cos t 2sin t cos t s
s t
 
 
2 2 2 2 2 2
z 2(t s) z 2(t s)
2) ;
s t1 (s t 1 2st) 1 (s t 1 2st)
  
  
s 2t s 2t
t s t s
2 2
z 1 2t z 2 s
3) e ; e
s t s t s t
   
  
. 
ts 2 2 2 2
2 2
ts 2 2 2 2
2 2
z s
4) te cos s t sin s t ,
s s t
z t
se cos s t sin s t .
t s t

 

 
Bài 5: 
Dùng công thức đạo hàm hàm ẩn tìm z / x  và z / y  . 
1. 
2 2 2x y z 3xyz 2. yz ln x z 
3. x z arctan yz 4. sin xyz x 2y 3z 
69 
Đáp số: 
1) z 2x 3yz z 2y 3xz;
x 3xy 2z y 3xy 2z
  
  
. 
2) 
2z 1 z xz z
;
x xy yz 1 y 1 xy yz
  
  
. 
3) 
2 2
2 2 2 2
z 1 y z z z
;
x 1 y y z y 1 y y z
  
  
. 
4) z 1 yzcos(xyz) z 2 xzcos(xyz);
x xycos(xyz) 3 y xycos(xyz) 3
  
  
. 
Bài 6: 
Tính vi phân toàn phần của hàm số sau: 
1. f (x,y) arcsin xy 
2. 
x y
f (x, y) arctan
x y
Đáp số: 1) 
2 2 2 2
y x
df (x, y) dx dy
1 x y 1 x y
. 
2) 
2 2
2y 2x
df (x, y) dx dy
(x y) (x y)
. 
Bài 7: 
Tính đạo hàm riêng cấp 2. 
1. 
3 2 2 3f (x,y) 4x 3x y 3xy y 
2. 
2 2f (x, y) ln x y 
70 
Đáp số: 
1) 
2 2 2
2 2
f (x.y) f (x.y) f (x.y)
24x 6y; 6x 6y; 6x 6y
x y x y
  
   
. 
2) 
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
f (x.y) y x f (x.y) x y f (x.y) 2xy
; ;
x (x y ) y (x y ) x y (x y )
   
    
. 
Bài 8: 
Tính vi phân toàn phần cấp 2. 
1. 
2 2f (x, y) x y 
2. f (x,y) arccos(x y) 
Đáp số: 
1) 
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(y x ) 4xy (x y )
d f (x, y) dx dxdy dy
(x y ) (x y ) (x y )
. 
2) 
2 2 2
3 3 3
2 2 2
x y x y x y
d f (x, y) dx 2 dxdy dy
1 (x y) 1 (x y) 1 (x y)
. 
Bài 9: 
Chứng minh rằng: 
1. Hàm số 
2 2
1
f (x, y) ln
x y
 thỏa 
2 2
2 2
f f
0
x y
 
 
2.Hàm số 
2x x 1 1
f (x, y)
2y 2 x y
 thỏa 
3
2 2f f xx y
x y y
 
 
Hướng dẫn: Tính đạo hàm riêng rồi thay vào đẳng thức ta có 
điều phải chứng minh. 
71 
Bài 10: 
Tính gần đúng biểu thức sau : 
1. 
2 2
A 2,97 4,05 
2. 
23B (2,03) (5,04) 
Đáp số: 1) A 5,022 ; 2) B 3,013 . 
Bài 11: 
Khảo sát cực trị các hàm hai biến sau: 
1. 
2 2f (x,y) 2x y 4x 8 
2. 
2 2f (x,y) 4x 2y x y 
3. f (x,y) (x y 9)(4x 3y) 6xy 
4. 
2 3f (x,y) 3x y 3xy 
5. 
xf (x,y) x y ye 
6. 2x 2f(x,y) e (x y 2y) 
7. 
3 2f (x,y) x 3xy 15x 12y 
8. 
3 3f (x,y) x y 6xy 20 
9. 
3 31f (x, y) xy (x y )
3
Đáp số: 
1) (1, 0) là cực tiểu; 
2) (2, 1) là cực đại; 
 3) 189 / 47,180 / 47 là cực tiểu; 
72 
4) (0,0) không là cực trị, 1/ 4,1/ 2 là cực tiểu; 
5) (0,1) không là cực trị; 
6) (1/ 2, 1) là cực tiểu; 
7) (1,2); ( 1, 2) không là cực trị; (2,1) là cực tiểu; ( 2, 1) 
là cực đại; 
8) (0,0) không là cực trị; (2,2) là cực tiểu; 
9) (0,0) không là cực trị; (1,1) là cực đại. 
Bài 12: 
Khảo sát cực trị các hàm ba biến sau: 
1. 
2 2 2f (x,y,z) x 5y 2z 4xy 6y 16z 100. 
2. 
y z 1
f (x, y,z) x 2015
x y z
 . 
Đáp số: 
1) M(6,3,4) cực tiểu; 
2) 1M (1,1,1) cực tiểu, 2M ( 1,1, 1) cực đại. 
Bài 13*: 
Tìm cực trị của hàm z z(x,y) cho bởi phương trình sau: 
2 2 2x y z 2x 4y 6z 11 0 
Đáp số: (1, 2) cực tiểu. 
Bài 14: 
Tìm cực trị của các hàm hai biến với ràng buộc sau: 
1. 
2 2f (x,y) 2x 6y , với ràng buộc x 2y 6 . 
2. 
2 2f (x,y) x 3xy 5y , với ràng buộc 2x 3y 6. 
73 
3. 
2 2f (x,y) x y , với ràng buộc 3x 2y 6 . 
4. f (x,y) x y , với ràng buộc 2 2x y 1 . 
5. f (x,y) xy , với ràng buộc x y 1 . 
6. f (x,y) xy , với ràng buộc 2 2x y 1 . 
7. f (x,y) x y , với ràng buộc 
2 2
2 2
x y
1.
a b
Đáp số: 
 1) 18, 12 cực tiểu. 
 2) (3, 0) cực đại. 
 3) 18 /13, 12 /13 cực tiểu. 
 4) 2 / 2, 2 / 2 cực tiểu; 2 / 2, 2 / 2 cực đại; 
 5) 1/ 2, 1/ 2 cực đại. 
 6) 2 / 2, 2 / 2 ; 2 / 2, 2 / 2 cực tiểu; 
 2 / 2, 2 / 2 , 2 / 2, 2 / 2 cực đại. 
 2 2 2 2 2 27) a / a b , b / a b cực tiểu; 
 2 2 2 2 2 2a / a b ,b / a b cực đại. 
Bài 15*: 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f trên tập D. 
1. 2 2 2f (x,y) x y x y 4, D (x,y) / x 1, y 1 . 
74 
2. 4 4f (x,y) x y 4xy 2, D (x,y) / 0 x 3, 0 y 2 . 
3. 3 4 2 2f (x, y) 2x y , D (x, y) / x y 1 . 
4. 
3 3f (x,y) x 3x y 12y , D là tứ giác có 4 đỉnh: 
( 2, 2), ( 2,3), (2,2), (2,3) . 
Đáp số: 
1) maxf f (0,1) 5 ; minf f (0,0) 4 . 
2) minf f ( 1, 1) f (1,1) 0 ; 
3 3
maxf f (3, 3) 83 9 3 . 
3) minf f (0,0) 0 ; max
13
f f (1/ 2, 3 / 2) f (1/ 2, 3 / 2)
16
 . 
4) maxf f ( 2,2) 30 ; minf f ( 2, 2) f (2, 2) 18 . 
Bài 16: 
Tính hệ số co giãn của các hàm sau tại điểm cho trước. 
a) 
2 2
1 2 1 2
5
Q(P ,P ) 6300 2P P
3
 , tại (20,30) . 
b) 
1/3 2/3Q(K,L) 120K L 
Đáp số: a) Q 1,15. b) Q 1. 
Bài 17: 
Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết 
hàm cầu đối với hai loại sản phẩm là: 
1 1
Q 25 0,5P 
; 2 2
Q 30 P 
Và hàm chi phí kết hợp là 2 2
1 1 2 2
TC Q 2Q Q Q 20 . 
Hãy cho biết mức sản lượng 
1 2
Q ,Q và giá bán tương ứng để doanh 
nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 
75 
Đáp số: 
1 2
Q 7, Q 4. 
Bài 18: 
Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm. Cho biết 
hàm cầu đối với hai loại sản phẩm là: 
1 1
Q 50 0,5P 
; 2 2
Q 76 P 
Và hàm chi phí kết hợp là 2 2
1 1 2 2
TC=3Q +2Q Q +2Q +55 . Hãy 
cho biết mức sản lượng 
1 2
Q ,Q và giá bán tương ứng để doanh 
nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 
Đáp số: 
1 2
Q 8, Q 10. 
Bài 19: 
Cho hàm sản xuất của hãng 0,3 0,4Q 10K L , biết giá thuê một 
đơn vị tư bản K bằng 0,03, giá thuê một đơn vị lao động bằng 2, 
giá sản phẩm bằng 4. Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu 
được lợi nhuận tối đa. 
Đáp số: L 51200, K 2560000. 
76 
Chương 7 
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 
A. Yêu cầu đối với sinh viên 
1. Nắm vững các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân. 
2. Biết cách giải một số phương trình vi phân thường cấp 1 và 
phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng số. 
B. Bài tập 
Bài 1: 
Giải các phương trình vi phân cấp 1. 
1. 
/y 2y 4x 
2. 
2/ xy 2xy xe 
3. 
/y y cosx 
4. (1 x)ydx (1 y)xdy 0 
5. 
/ x y 2y
x y 4
6. 
/y ysin x sin xcosx 
7. 
/ 2y 1 x y arcsin x , y(0) 0 
8. 
/ yy x ln x
x ln x
 , 2
1
y(e) e
2
9. 
2
/ 2 5 2 3y 9x y (x x )y , y(0) 0 
77 
10. 
/ 1y y tan x , y(0) 0
cos x
Đáp số: 
1) 
2x1y(x) 2x Ce
2
 ; 2) 
2 22 x x1y(x) x e Ce
2
 ; 
3) 
1
y(x) (sin x cos x) C
2
 ; 
4) ln xy x y C x 0 y 0   ; 
5) 2 2y 1arctan ln (y 1) (x 3) C
x 3
; 
6) 
cos xy(x) cosx 1 Ce ; 
7) 
arcsin xy(x) arcsin x 1 Ce ; 8) 2
1
y(x) x ln x
2
 ; 
9) 
3
3
x 6 31y(x) e (x 2x )
18
; 10) 
x
y(x)
cos x
 . 
Bài 2: 
Giải các phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất sau: 
1. 
/ / /y y 2y 0 
2. 
/ /y 9y 0 
3. 
/ / /y 4y 0 
4. 
/ /y y 0 
5. 
/ / /y 6y 13y 0 
7. 
/ / /y y 6y 0 
8. 
/ /y 4y 0 
9. 
/ / /y 6y 12y 0 
10. 
/ / /y 2y 5y 0 
11. 
/ / /y 2y y 0 
78 
6. 
/ / /y 10y 25y 0 12. / / /4y 20y 25y 0 
Đáp số: 
1) x 2xy(x) Ae Be ; 2) 3x 3xy(x) Ae Be ; 
3) 4xy(x) Ae B ; 4) y(x) Asin x Bcos x ; 
5) 3xy(x) e Asin 2x Bcos2x ; 6) x 5xy(x) Ae Be ; 
7) 2x 3xy(x) Ae Be ; 8) y(x) Asin 2x Bcos2x ; 
9) 3xy(x) e Asin 3x Bcos 3x ; 
10) xy(x) e Asin 2x Bcos2x ; 
11) (1 2)x (1 2)xy(x) Ae Be ; 12) 
5
x
2y(x) Ax B e . 
Bài 3: 
Giải các phương trình vi phân với điều kiện đầu sau: 
1. // /y 4y 3y 0 , y(0) 6 , /y (0) 14 
2. // /4y 4y y 0 , y(0) 2 , /y (0) 0 
3. 
// /y 4y 29y 0 , y(0) 0 , /y (0) 15 
4. // xy xe , y(0) 1 , /y (0) 1 
5. // / 5xy 4y 3y e , y(0) 3 , /y (0) 9 
6. //y 4y sin 2x 1 , 
1
y(0)
4
 , /y (0) 0 
79 
Đáp số: 
1) 
x 3xy(x) 2e 4e ; 2) 
1
x
2
2 4
y(x) x e
3 4
; 
3) 
2xy(x) 3e sin5x ;4) xy(x) 2x 1 e (x 2) ; 
5) 
3x x 5x11 1 1y(x) e e e
4 8 8
 ; 
6) 
1 1 1
y(x) sin 2x x cos2x
8 4 4
 . 
Bài 4: 
Giải các phương trình vi phân không thuần nhất sau 
1. 
/ / 1y y
sin x
2. 
/ / /y 2y y 1 x 
3. / / / xy 2y y e 1 x 
4. 
/ /y y sin x cos2x 
5. 
/ / / x2y y y 2e 
6. 
/ / 2 xy a y e , a 0. 
7. 
/ / /y 7y 6y sin x 
8. 
/ / / 2y 6y 9y 2x x 3 
9. 
/ / / xy 3y 2y e 
10. 
/ /y y tan x 
11. 
/ / / 2y 4y 12x 6x 4 
12. 
/ / / 2 4xy 9y 20y x e 
13. 
/ /y y 2sin x 4cosx 
14. 
/ /y y cosx cos2x 
 15. 15. 
/ / 2y y xcos x 
16. 
/ / / xy 6y 9y xe , 
Đáp số: 
1) y(x) Asin x Bcos x sin x ln sin x cos x ln sin x   ; 
2) xy(x) (Ax B)e x 3 ; 
80 
3) x x 3 2
1 1
y(x) (Ax B)e e x x
6 2
 ; 
4) 
1 1
y(x) Asin x Bcos x x cos x cos 2x
2 3
 ; 
5) 
1
x
x x2y(x) Ae Be e ; 
6) x
2
1
y(x) Asin ax Bcosax e
1 a
; 
7) 6x x
5 7
y(x) Ae Be sin x cos x
74 74
 ; 
 8) 3x 2
2 5 11
y(x) (Ax B)e x x
9 27 27
 ; 
9) x 2x x
1
y(x) Ae Be e
6
 ; 
10) 
1 sin x 1
y(x) Asin x Bcos x cos x ln
2 sin x 1
; 
11) 4x 3 2
3 7
y(x) A Be x x x
2 4
 ; 
12) 5x 4x 3 2 4x
1
y(x) Ae Be x x 2x e
3
; 
13) x xy(x) Ae Be sin x 2cos x ; 
14) 
1 1
y(x) Asin x Bcos x xsin x cos 2x
2 3
 ; 
15) x x
1 2 1
y(x) Ae Be x sin 2x x cos 2x
2 25 10
 ; 
81 
16) Với 3 thì 3x 3 3x
1
y(x) Ax B e x e
6
 ; 
Với 3 thì 3x x2 3
1 2
y(x) Ax B e x e
( 3) ( 3)
. 
Bài 5: 
Tìm hàm cầu DQ cho biết hệ số co giãn của cầu theo giá là: 
2
D
5P 2P
E
Q
 và lượng cầu ở mức giá P 10 là 500. 
Đáp số: 2Q 650 5P P . 
Bài 6: 
Cho hàm cung và hàm cầu của một loại hàng: 
/ //
S DQ (t) 2 P(t); Q (t) 8 4P(t) 2P (t) P (t) 
Với giá ban đầu P(0) 3 và /P (0) 1 . Tìm sự biến động 
của giá P(t) theo thời gian và giả thiết cung cầu thỏa mãn tại mọi 
thời điểm. 
Đáp số: tP(t) 2 e sin 2t cos2t . 
82 
MỘT SỐ ĐỀ LUYỆN TẬP 
ĐỀ SỐ 01 
Câu 1 (2 điểm) 
Cho hai ma trận sau: 
0 1 2 1 2 3
A 1 1 2 ; B 3 2 4
1 1 1 4 3 5
1) Tính AB, BA, 4A+5B. 
2) Tìm X sao cho AX B . 
Câu 2 (2 điểm) 
Giải hệ phương trình sau: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 4x 3x 22
2x 3x 5x 12
x 7x 2x 34
3x x 2x 0
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn sau: 
3
2
x 1
1 x 1 x
lim
1 x 
2) Tính tích phân sau: 
83 
3
2
4
x
dx
sin x
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. 
1
2
3 2
0
cos x
dx
1 x 
2) Khảo sát cực trị hàm số: f (x,y) 6 4x 3y với ràng 
buộc 2 2x y 1 
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân: / / / 3xy 3y e 3x 5 
2) Cho hàm số f có /f (6) 1, f (6) 2 và 
2dg(x) x f (3x)
dx
. Tính g(2). 
84 
ĐỀ SỐ 02 
Câu 1 (2 điểm) 
Cho hai ma trận sau: 
1 2 3 1 1 1
A 2 1 2 ; B 2 4 3
3 2 1 3 3 6
1) Tính AB, BA, 3A+4B. 
2) Tìm X sao cho XA B . 
Câu 2 (2 điểm) 
Định a để hệ phương trình sau vô nghiệm. 
2x y 2a 1
ax 5y 11
x 2y a 1
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn sau: 
2
5x 0
x
lim
1 5x 1 x 
2) Tính tích phân sau: 
2
2
0
4 x dx 
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 
2
53
0
sin 2x
dx
x 5
85 
2) Khảo sát cực trị hàm số: 
1 x y
f (x, y) xy (47 x y) 2013
2 3 4
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân: / /y y 2sin x 4cosx 
2) Khai triển Maclorent của hàm số sau đến 5x : 
x 1
f (x)
x 1
86 
ĐỀ SỐ 03 
Câu 1 (2 điểm) 
Cho hai ma trận sau: 
1 1 0 2 3 1
A 2 2 1 ; B 4 1 3
1 0 1 2 0 2
1) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A, nếu có. 
2) Tìm ma trận X và ma trận Y sao cho: 
T T
A(X Y) B
(X Y)A B
Câu 2 (2 điểm) 
Giải hệ phương trình tuyến tính: 
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x 2x 3x x 2x 0
x 2x x x x 0
2x 4x 6x 2x 4x 0
2x 4x 2x 2x 2x 0
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn sau: 
x
x x x
lim
x 2 
2) Tính tích phân sau: 
2 sin x
dx
2 cos x
Câu 4 (2 điểm) 
87 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 
0
1
dx
(x 1) 2x 1
2) Khảo sát cực trị hàm số: 
2 2f (x,y) 2x 2y 12x 8y 2012 
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân: / / /y 4y 2x 3 
2) Khai triển Maclorent hàm số sau tới 
5x : 
2
1
f (x)
x 4
88 
ĐỀ SỐ 04 
Câu 1 (2 điểm) 
Cho hai ma trận sau: 
0 1 2 1 2 3
A 1 1 2 ; B 3 2 4
1 1 1 4 3 5
1) Tính AB, BA, 3A-4B. 
2) Tìm X sao cho AX B . 
Câu 2 (2 điểm) 
Định a để hệ phương trình sau có nghiệm: 
2x y 2a 1
ax 5y 11
x 2y a 1
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn sau: 
1
x x x
x
3 4
lim
2 
2) Tính tích phân sau: 
2
0
xsin x
dx
9 4cos x
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng. 
2
0
sin x dx
89 
2) Khảo sát cực trị hàm số: 
1 1
3 3f (x, y) 9x y x 0,03y 
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân: / / / 2y 6y 9y 2x x 3 
2) Khai triển Maclorent của hàm số sau đến 5x : 
2
1
f (x)
x 3x 2
90 
ĐỀ SỐ 05 
Câu 1 (2 điểm) 
Cho các vec tơ sau: 
 x 5,9,m ,u 4,4,3 ,v 7,2,1 ,w 4,1,6 
1) S u,v,w có là cơ sở của 3 hay không? 
2) Định m để x là tổ hợp tuyến tính của u, v, w. 
Câu 2 (2 điểm) 
Tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm của hệ 
phương trình sau: 
1 2 3 4
1 2 3
2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2x 4x x x 0
x 5x 2x 0
2x 2x x 0
x 3x x 0
x 2x x x 0
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn: 
2
x 0
1 1 4x
lim
1 1 arctan x 
2) Tính tích phân: 
1
2
0
dx
(x 1) x x 1 
91 
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng sau: 
3 53
1
xdx
2 x 8 x
2) Khảo sát cực trị của hàm số sau: 
81
f (x, y) x y 2012
xy
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân sau: 
/ sin xy ytan x 2e ; y(0) 3 
2) Khai triển Maclorent của hàm số sau đến 
5x : 
f (x) x x 1 
92 
ĐỀ SỐ 06 
Câu 1 (2 điểm) 
Trong không gian 3 , xét hệ vectơ: 
 1 2 3S u 1,1,1 ,u 1,1,2 ,u 1,2,3 
1) Chứng minh S là cơ sở của 3 . 
2) Tìm tọa độ của x 6,9,14 trong cơ sở S. 
Câu 2 (2 điểm) 
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x 3x 2
x 2x 3x 6
2x 4x 5x 6
Câu 3 (2 điểm) 
1) Cho hàm số 
2x 1 cos x
khi x 0
f (x) x
m khi x 0
a) Xác định m để f liên tục tại x 0 . 
b) Tìm 
/f (0) ứng với m vừa tìm được ở câu a. 
2) Tính tích phân: 
1
2
0
1
dx
x 2x 2 
93 
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng sau: 
1
sin x
0
x
dx
e 1 
2) Khảo sát cực trị của hàm số sau: 
y 3 2f (x,y) xe x 2y 4y 2012 
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân sau: 
/ / / xy 2y y e (1 x) 
2) Cho hàm số f (x) xsin x . Tính (5)f (0) . 
94 
ĐỀ SỐ 07 
Câu 1 (2 điểm) 
Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng hai phương pháp: 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7x 2x 3x 15
5x 3x 2x 15
10x 11x 5x 36
Câu 2 (2 điểm) 
Định a để ma trận sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo 
của nó: 
1 1 0
A 1 a 1
0 2 1
Câu 3 (2 điểm) 
1) Tính giới hạn sau: 
3x 4
x
x 2
lim
x 3
2) Tính tích phân: 
4 2
x
dx
x 2x 5 
Câu 4 (2 điểm) 
1) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng sau: 
1
0
1
dx
x 1 
2) Khảo sát cực trị của hàm số sau: 
0,4 0,8f (x,y) x y với ràng buộc 5x 2y 240 
95 
Câu 5 (2 điểm) 
1) Giải phương trình vi phân sau: 
/ / / 2xy 4y 4y 4e 
2) Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số sau: 
x(x 1)
y
x 2
96 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Nguyễn Đức Bằng, Nguyễn Tuấn Duy, Tài liệu ôn tập toán cao 
cấp,( lưu hành nội bộ), Đại học Tài chính - Marketing, 2013. 
2. Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, Toán 
cao cấp, NXB Đại học uốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2006. 
3. Nguyễn Huy Hoàng, Bài Tập Toán Cao Cấp, NXB Đại học Kinh 
tế uốc Dân, 2008. 
4. Lê Văn Hốt, Toán Cao Cấp,( lưu hành nội bộ), Đại học Kinh tế 
TP. Hồ Chí Minh, 1997. 
5. Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đặng Đức Trọng, Đinh 
Ngọc Thanh, Giáo trình giải tích hàm một biến, NXB Đại học 
 uốc Gia TP. Hồ Chí Minh, 2002. 
6.Trần Minh Thuyết, Giáo trình toán cao cấp, NXB tài chính, 
2008. 
7. Lê Đình Thúy, Toán Cao Cấp cho các nhà kinh tế, NXB Đại học 
Kinh tế uốc Dân, 2010.