Ngân hàng đề thi môn Đại số

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN
Độc lập - Tự do – Hạnh phúc
NGÂN HÀNG ĐỀ THI 
Môn: ĐẠI SỐ 
Ban hành kèm theo Quyết định số: / của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /12/2010
DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY NGÀNH VIỄN THÔNG, KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ, CÔNG NGHỆ THÔNG TIN 
MỖI ĐỀ 4 CÂU ( mỗi phần chọn một câu và có tổng điểm bằng 10)
A. PHẦN 1 
Loại 2 điểm
 là tập con của . Chứng minh rằng:
a) Nếu thì và .
b) Nếu thì .
Đặt , , và là các tập con của .
Liệt kê các phần tử của và ;
Biểu diễn các tập , , theo .
Trong tập xét hai hàm mệnh đề và ”lẻ”. Đặt , . Hãy xác định các tập , , , và .
Chứng minh rằng nếu là hai song ánh thì ánh xạ hợp cũng là một song ánh và .
Trong tập số tự nhiên khác không , xét quan hệ xác định bởi: khi và chỉ khi chia hết cho . Chứng minh là một quan hệ thứ tự. là thứ tự bộ phận hay toàn phần.
Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau:
Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau:
	.
Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau:
Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau:
Tìm hàm Boole nhận giá trị 1 khi và chỉ khi 
 a) ; b) ; c) ; d) hoặc.
	Biểu diễn mạng các chuyển mạch tương ứng với kết quả tìm được.
Ánh xạ có công thức xác định ảnh là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại.
Ánh xạ có công thức xác định ảnh là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại.
Ánh xạ có công thức xác định ảnh là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại.
Trong xét quan hệ khi và chỉ khi . Chứng minh là một quan hệ tương đương. Biểu diễn lớp tương đương của (1,3) trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn .
Trong xét quan hệ . Chứng minh quan hệ £ là quan hệ thứ tự toàn phần.
Loại 3 điểm 
Ký hiệu là hợp của hai ánh xạ . Chứng minh:
a) đơn ánh thì đơn ánh.
b) đơn ánh thì đơn ánh.
c) đơn ánh và toàn ánh thì đơn ánh.
d) toàn ánh và đơn ánh thì toàn ánh.
Chứng minh rằng nếu đơn ánh thì
a) .
	b) .
	c) Tìm ví dụ chứng tỏ rằng khi không đơn ánh thì nhưng và .
Cho ánh xạ .
	a) Chứng minh: , 
trong đó hiệu đối xứng của và .
	b) Chứng minh rằng đơn ánh khi và chỉ khi 
Cho ánh xạ . Chứng minh rằng quan hệ của tập xác định bởi: là một quan hệ tương đương. 
 	Khi và , tìm lớp tương đương của .
Trong tập số thực ¡, xét quan hệ xác định bởi:
	.
Chứng minh là một quan hệ tương đương. Tìm lớp tương đương của . 
Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn:
Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn:
 Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn:
 Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn:
Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn:
Cho là hai nhóm lần lượt có phần tử trung hoà là và , phần tử nhịch đảo của trong là và phần tử nhịch đảo của trong là . 
 là một đồng cấu nhóm. 
Chứng minh: , .
Ký hiệu là tích lần phần tử , chứng minh .
Chứng minh rằng trong nhóm với phép toán nhân:
phần tử trung hòa của là duy nhất;
mỗi có phần tử nghịch đảo duy nhất ;
 và ;
 và .
Cho là hai nhóm lần lượt có phần tử trung hoà là và . là một đồng cấu nhóm. Ta định nghĩa và kí hiệu hạt nhân của đồng cấu nhóm là . Chứng minh rằng:
 khi và chỉ khi , là phần tử nghịch đảo của x trong G.
 là đơn cấu khi và chỉ khi .
Cho vành . Chứng minh rằng, nếu là hai phần tử bất kỳ của vành thoả mãn thì ta có nhị thức Newton đúng với mọi số tự nhiên , trong đó , , là tích k lần của phần tử .
Cho là một vành có đơn vị và . Giả sử tồn tại một số tự nhiên sao cho , chứng minh rằng 
tồn tại .
tồn tại .
B. PHẦN 2 
Loại 2 điểm
Tìm điều kiện của , , để hệ phương trình sau có nghiệm
Biểu diễn ma trận theo tổ hợp tuyến tính của các ma trận:
, , , .
Cho hai ma trận và . Tìm ma trận thỏa mãn 
Cho hai ma trận và . Tìm ma trận thỏa mãn 
Tìm , trong đó: , là không gian véc tơ con của sinh bởi hai véc tơ và .
Giả sử và là ba không gian véc tơ con của một không gian véc tơ. Chứng minh rằng .
Giả sử là hai không gian véc tơ con của thỏa mãn điều kiện , và . Chứng minh rằng .
Tìm tất cả các giá trị của để véc tơ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: , , .
Tìm tất cả các giá trị của để biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của: , , .
Trong không gian cho họ véc tơ với 
 ;  ; p3=2+x+4x2
Chứng minh rằng là một cơ sở của . Tìm tọa độ của véc tơ trong cơ sở .
Trong không gian cho họ véc tơ với 
; ; 
Hãy biểu diễn véc tơ thành tổ hợp tuyến tính của họ B .
Hãy xác định số chiều và một cơ sở của không gian véc tơ con sinh bởi họ B. 
Cho hai véc tơ và của không gian véc tơ .
Biểu diễn véc tơ thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , .
Tìm tất cả các giá trị để véc tơ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , .
Cho hai véc tơ , của .
Viết thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , .
Tìm điều kiện để viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , .
 Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình tuyến tính:	
Xác định các giá trị của tham số sao cho các hệ phương trình sau:
Có duy nhất nghiệm.	ii) Vô nghiệm.	iii) Có nhiều hơn 1 nghiệm.
Loại 3 điểm 
Trong không gian xét các véc tơ: , ; và , . Đặt , là hai không gian véc tơ con của lần lượt sinh bởi hệ véc tơ và . Chứng minh rằng . 
Trong không gian các đa thức bậc £ 2, xét các véc tơ: , và , . Đặt , là hai không gian véc tơ con của lần lượt sinh bởi hệ véc tơ và . Chứng minh rằng .
Cho hai véc tơ , của .
Viết thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , .
Tìm các giá trị của để viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , . 
Tìm điều kiện để viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ , . 
Cho là hai không gian véc tơ con của xác định như sau:
;.
Tìm một cơ sở và chiều của các không gian véc tơ con và .
Trong không gian xét các không gian véctơ con:
,, .
Chứng minh rằng: (i) , (ii) , (iii) .
Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp.
Đặt , lần lượt là hai không gian véc tơ con của gồm các véc tơ thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
 , 
Hãy tìm số chiều của các không gian con , , , .
Đặt , lần lượt là hai không gian véc tơ con của gồm các véc tơ thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II):
 , 
Hãy tìm số chiều của các không gian con , , , .
Trong không gian xét các véc tơ: 
; ; ;
 ; ; .
Đặt , . Hãy tìm số chiều của các không gian con , , , .
Trong không gian xét các véc tơ: 
 ; ; ;
 ; ; .
Đặt , . Hãy tìm số chiều của các không gian con , , , .
Trong không gian xét các véc tơ: 
; ; ;
 ; ; .
Đặt , . Với mỗi không gian con , , , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng. 
Trong không gian xét các véc tơ:
 ; ; .
Đặt , . Với mỗi không gian con , , , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng.
Đặt ; ;
Với ; ; 
Chứng minh rằng ;
Chỉ ra véc tơ thuộc , trong những véc tơ sau: 
.
Cho hệ véc tơ 
Với giá trị nào của tham số thì hệ véc tơ là một cơ sở của không gian ?
Với , chứng tỏ rằng là một cơ sở của , tìm ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở chính tắc của . Tìm toạ độ của véc tơ trong cơ sở .
Trong không gian véc tơ các đa thức bậc , cho 2 cơ sở 
Tìm ma trận P chuyển từ sang . 
Cho , . Từ dùng P tìm .
Tìm tọa độ của trong cơ sở chính tắc.
Trong cho 2 cơ sở 
Tìm tọa độ của véc tơ trong cơ sở và . 
Tìm ma trận P chuyển từ sang . 
Nghiệm lại công thức .
C. PHẦN 3
Loại 2 điểm 
Tính định thức của ma trận .
 Tính định thức .
Tìm các giá trị thỏa mãn .
Tìm các giá trị thỏa mãn .
Cho ma trận , , . 
Hãy tính , và .
Cho các ma trận: 
, , , .
Hãy tính .
Cho các ma trận 
, , 
Hãy tính và .
Ký hiệu là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Chứng tỏ rằng các tập con sau không phải là không gian véc tơ con của .
Tập hợp gồm các ma trận cấp 2 có định thức bằng 0.
Tập hợp gồm các ma trận cấp 2 thỏa mãn .
Biện luận theo tham số m hạng của ma trận 
Tìm và nếu . 
 Cho . Tìm để là nghiệm của đa thức . 
Hai ma trận , được gọi là giao hoán nếu . Tìm các ma trận giao hoán với ma trận . 
Cho . Tìm .
Cho , và đa thức . Tính , , . 60
Hai ma trận , được gọi là giao hoán nếu . Tìm các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với mọi ma trận vuông cấp 2.
Loại 3 điểm 
Cho ma trận ; .
Với giá trị nào của thì tồn tại ma trận nghịch đảo .
Cho tìm . 
Cho ma trận ; .
Với giá trị nào của thì tồn tại ma trận nghịch đảo .
Cho tìm .
Cho ma trận ; .
Với giá trị nào của thì tồn tại ma trận nghịch đảo .
Khi tìm .
Cho ma trận ; .
Với giá trị nào của thì tồn tại ma trận nghịch đảo .
Cho tìm .
Cho ma trận vuông cấp n. Ta gọi (tổng các phần tử trên đường chéo chính) là vết của . Chứng minh: 
; 
 (mặc dù );
nếu thì ;
Tính vết của ma trận đơn vị cấp n. 
Tìm ma trận vuông cấp thỏa mãn phương trình .
Cho ma trận , tìm một ma trận sao cho có dạng chéo.
Cho ma trận , tìm một ma trận sao cho có dạng chéo.
Cho ma trận , tìm một ma trận sao cho là ma trận chéo.
Cho ma trận , . 
Tính .
Tính .
Cho ma trận . 
Tìm đa thức đặc trưng của A.
Tính .
Tìm ma trận vuông cấp 3 thỏa mãn phương trình .
Chứng minh rằng 
Áp dụng công thức trên tính 
Cho ma trận , tìm một ma trận trực giao sao cho là ma trận chéo.
Cho ma trận , tìm một ma trận trực giao sao cho là ma trận chéo.
D. PHẦN 4
 Loại 2 điểm
Cho ánh xạ tuyến tính và có công thức xác định ảnh
, . 
Viết ma trận của và trong cơ sở chính tắc.
Cho ánh xạ tuyến tính có công thức xác định ảnh 
.
Chứng minh rằng là một đẳng cấu. Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược .
Cho ánh xạ tuyến tính có công thức xác định ảnh 
Viết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc. Tìm ma trận nghịch đảo , từ đó suy ra công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược .
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:
Viết ma trận của trong cơ sở chính tắc của.
Tìm một cơ sở của và .
Cho ánh xạ tuyến tính có công thức xác định ảnh
 là không gian véc tơ các đa thức bậc .
 Viết ma trận của trong cơ sở chính tắc của .
Tìm một cơ sở của và .
Cho là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác định bởi công thức: , trong đó .
Chứng minh là một ánh xạ tuyến tính.
Tìm một cơ sở của .
Tìm hạng của .
Cho là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó xác định bởi công thức: , trong đó .
Chứng minh là một ánh xạ tuyến tính.
Tìm một cơ sở của .
Tìm một cơ sở của .
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi: 
Viết ma trận của trong cơ sở chính tắc. Tìm các giá trị để:
 là một đẳng cấu;
.
 Trong không gian véc tơ xét hệ véc tơ S : 
, , , 
Chứng tỏ rằng S là một hệ trực giao và là một cơ sở của .
Tìm tọa độ của véc tơ trong cơ sở S.
Cho , là hai véc tơ trực giao độc lập tuyến tính của không gian véc tơ Euclide , đặt . Với mọi , xét . 
Chứng minh rằng với mọi .
Tìm ứng với trường hợp ; , của .
Cho là một hệ véc tơ trực giao. Chứng minh rằng
.
Nghiệm lại công thức trên với , , 
Trong không gian véc tơ Euclide . 
Chứng minh bất đẳng thức hình bình hành .
Công thức dạng cực . 
Trong xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: 
; ;.
Hãy trực chuẩn hóa Gram-Shmidt họ véc tơ .
Trong xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: 
;;.
Hãy trực chuẩn hóa Gram-Shmidt họ véc tơ .
Trong không gian véc tơ các đa thức bậc , xét tích vô hướng 
Tìm một cơ sở của không gian véc tơ con trực giao với . 
Loại 3 điểm 
Cho dạng song tuyến tính của không gian véc tơ xác định bởi:
Viết ma trận của trong cơ sở .
Viết ma trận của trong cơ sở .
Tìm ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở và nghiệm lại công thức .
Tìm các giá trị để dạng song tuyến tính sau là một tích vô hướng trên :
 với , .
Khi , viết ma trận của trong cơ sở chính tắc và ma trận của trong cơ sở . Nghiệm lại công thức , trong đó là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở mới.
Gọi là không gian véc tơ con của sinh bởi hai véc tơ và . Tìm một cơ sở của phần bù trực giao . 
Cho véc tơ . Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ con của trực giao với .
Giả sử là một hệ trực chuẩn và là một véc tơ bất kỳ của không gian véc tơ Euclide . 
Chứng minh rằng . 
Với mọi : khi và chỉ khi là một cơ sở.
Cho dạng toàn phương xác định bởi:
Viết ma trận của trong cơ sở chính tắc.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để là dạng toàn phương xác định dương.
Cho dạng toàn phương 
Tìm phép biến đổi tọa độ (tìm cơ sở mới) để đưa dạng toàn phương đã cho về chính tắc 
bằng phương pháp Lagrange;
bằng phương pháp Jacobi. 
Cho dạng toàn phương xác định bởi:
 . 
Viết ma trận của trong cơ sở chính tắc.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của để biểu thức toạ độ của trong cơ sở này có dạng chính tắc.
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:
Hãy viết ma trận của ánh xạ trong cơ sở chính tắc.
Viết ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở ,
	.
Hãy viết ma trận của ánh xạ trong cơ sở .
Tính , .
Giả sử là một cơ sở của không gian véc tơ . Tự đồng cấu thỏa mãn , , ,  , . 
Viết ma trận của trong cơ sở .
Tính với .
Chứng minh rằng .
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:
Hãy viết ma trận của ánh xạ trong cơ sở chính tắc. 
Tìm ma trận sao cho có dạng chéo. 
Tính .
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:
Hãy viết ma trận của ánh xạ trong cơ sở chính tắc. 
Tìm ma trận sao cho có dạng chéo. 
Tính .
Cho ánh xạ tuyến tính xác định bởi:
Hãy viết ma trận của ánh xạ trong cơ sở chính tắc. 
Tìm ma trận sao cho có dạng chéo. 
Tính .
Cho ma trận 
Tìm ma trận sao cho có dạng chéo.
Tính .
Tìm ma trận thỏa mãn .
Tìm ma trận đối xứng cấp 2 có hai giá trị riêng , và có véc tơ riêng ứng với giá trị riêng .
Tìm ma trận thỏa mãn .