Tài liệu Các kỹ thuật phổ biến nhất giải phương trình lượng giác

 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
LỜI GIỚI THIỆU 
Các em học sinh thân mến, bài tập giải phương trình lượng giác là một trong nhưng nội 
dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi đại học, kiến thức về giải phương trình lượng giác 
các em được học trong chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với các công thức và kiến thức nền 
tảng của lớp 10. Để giải phương trình lượng giác, điều đầu tiên các em cần là phải biết cách 
học thuộc các công thức biến đổi lượng giác cơ bản, tiếp theo các em cần học tập siêng năng, 
chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân, từ đó biết phân chia các dạng toán và kỹ 
thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với mọi loại bài về giải phương trình lượng giác trong đề 
thi. 
Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG 
GIÁC được chắt lọc, đánh máy công phu, trình bày đẹp. Nội dung rất hữu ích cho học sinh lớp 
11, học sinh ôn thi đại học môn Toán và quý thầy cô giáo dạy Toán THPT. Tài liệu được biên 
soạn tỉ mỉ, phân chia dạng toán rõ ràng, công thức đầy đủ, mỗi phần đều có ví dụ minh họa và 
hướng dẫn. Học sinh bị mất gốc kiến thức về lượng giác cũng có thể học lại từ đầu không mấy 
khó khăn. Hy vọng rằng với cuốn tài liệu hữu ích này, các em học sinh sẽ có một “cẩm nang” 
để chinh phục phương trình lượng giác trong thi cử. 
Tài liệu rất có thể vẫn còn một vài khiếm khuyết, rất mong nhận được ý kiến từ các em 
học sinh và độc giả. 
Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN 
Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 1 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 
1. Hàm số y = sinx 
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y) 
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] 
(Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa là 1 s inx 1− ≤ ≤ ) 
+ Hàm y = sinx là hàm số lẻ 
(Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = 2pi (Vì sin(x 2 ) s inx+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2pi thì giá trị hàm 
số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2pi - tính chất này giúp vẽ đồ thị 
được thuận tiện) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn [ ]0;pi (trên nửa chu kỳ) 
00
1
π
π
20x
y = sinx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2pi . Do đó muốn khảo 
sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên R, ra chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị 
hàm số trên đoạn [ ]0;pi (nửa chu kỳ) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta được đồ thị 
trên đoạn [ ];−pi pi (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang phải 
theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ;...pi pi pi 
*Nhận xét: 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+ Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng k.2 ; k.2
2 2
pi pi 
− + pi + pi 
 
+ Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3k.2 ; k.2 , k Z
2 2
pi pi 
+ pi + pi ∈ 
 
2. Hàm số y = cosx 
+ TXĐ: D = R (Vì lấy bất kỳ giá trị nào của x, thay vào hàm số ta đều tính được y) 
+ Tập giá trị: [ -1 ; 1 ] (Vì các giá trị tính được của y chỉ nằm trong đoạn [ -1 ; 1 ], nghĩa 
là 1 cosx 1− ≤ ≤ ) 
+ Hàm y = cosx là hàm số chẵn (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua 
trục tung Oy). 
+ Chu kỳ T = 2pi (Vì cos(x 2 ) cosx+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm 2pi thì giá trị 
hàm số trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ 2pi - tính chất này giúp vẽ đồ 
thị được thuận tiện: ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn [ ]0;pi (trên nửa chu kỳ) 
-1
1
π
π
20x
y = cosx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên R, tuần hoàn với chu kỳ 2pi . Do đó, muốn 
khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị 
hàm số trên đoạn [ ]0;pi (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta được đồ 
thị trên đoạn [ ];−pi pi (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang trái, sang 
phải theo trục hoành những đoạn có độ dài 2 ;4 ;6 ;...pi pi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 3 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
3. Hàm số y = tanx 
+ TXĐ: D R \ k / k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
 (Vì cosx 0≠ ). 
+ Tập giá trị: R 
+ Hàm y = tanx là hàm số lẻ (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua 
gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = pi (Vì tan(x ) tan x+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm pi thì giá trị hàm số 
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ pi ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ) 
+∞1
π
20x
y = tanx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên R \ k / k Z
2
pi 
+ pi ∈ 
 
, tuần hoàn với chu kỳ pi . 
Do đó, muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo 
sát và vẽ đồ thị hàm số trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc 
tọa độ O ta được đồ thị trên đoạn ;
2 2
pi pi 
− 
 
 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu 
được sang trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ;2 ;3 ;...pi pi pi 
0 
y = tanx 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 4 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
*Nhận xét: 
+ Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng k. ; k. , k Z
2 2
pi pi 
− + pi + pi ∈ 
 
+ Hàm số không có khoảng nghịch biến. 
+ Mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm k. ;0
2
pi 
+ pi 
 
 gọi là 1 đường 
tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x k.
2
pi
= + pi 
làm 1 đường tiệm cận) 
4. Hàm số y = cotx 
+ TXĐ: { }D R \ k / k Z= pi ∈ (Vì sin x 0≠ ) . 
+ Tập giá trị: R 
+ Hàm y = cotx là hàm số lẻ (Vì x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ và cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua 
gốc tọa độ O). 
+ Chu kỳ T = pi (Vì cot(x ) cot x+ pi = - Cứ mỗi khi biến số cộng thêm pi thì giá trị hàm số 
trở về như cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau mỗi chu kỳ pi ) 
+ Bảng biến thiên trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ) 
+∞
0
π
20x
y = cotx
+ Đồ thị hàm số 
Hàm số y = tanx là hàm số lẻ trên { }R \ k / k Zpi ∈ , tuần hoàn với chu kỳ pi . Do đó, 
muốn khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = tanx trên R ta chỉ cần khảo sát và vẽ 
đồ thị hàm số trên đoạn 0;
2
pi 
 
 
 (nửa chu kỳ), sau đó lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O 
ta được đồ thị trên đoạn ;
2 2
pi pi 
− 
 
 (1 chu kỳ), cuối cùng tịnh tiến đồ thị vừa thu được sang 
trái, sang phải theo trục hoành những đoạn có độ dài ;2 ;3 ;...pi pi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 5 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
*Nhận xét: 
+ Hàm số y = tanx nghịch biến trên mỗi khoảng (k. ; k. ) k Zpi pi + pi ∈ 
+ Hàm số không có khoảng đồng biến biến. 
+ Đồ thị hàm số nhận mỗi đường thẳng x k.= pi làm 1 đường tiệm cận 
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
Lý thuyết vận dụng: 
+ Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R 
+ Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R 
+ Hàm số y = tanx có TXĐ: D R \ k / k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
 (Vì cosx 0≠ ) 
+ Hàm số y = cotx có TXĐ: { }D R \ k / k Z= pi ∈ (Vì sin x 0≠ ) 
BÀI TẬP: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1). 
25cos x s inx 7
y=
1 s inx
− +
−
 2). 2 cosx s inx 2y=
cosx
− +
3). 1 s inxy
1 cosx
+
=
−
 4). 
2
1 cosx
y
cos x
−
= 
5). x 3y 2 sin3x 3cos
x 2
+
= + +
−
 6). 2x 2xy sin 5cos
x 3 2x 1
= −
+ −
7). y t anx c otx= + 8). y tan(2x )
4
pi
= + 
9). 1 cos
.sin
xy
x x
+
=
10). 2 sin cosy x x= + +
y = cotx 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 6 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
11). 3
1 sin
tgxy
x
+
=
+
12) 2 3cot 2
3
y tgx g x pi = + − 
 
HƯỚNG DẪN 
1). Hàm số 
25cos x s inx 7
y=
1 s inx
− +
−
 xác định khi 1 s inx 0 s inx 1 x k.2 (k Z)
2
pi
− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ + pi ∈ 
Vậy TXĐ: D R \ k.2 ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
2) Hàm số 2 cosx s inx 2y=
cosx
− +
 xác định khi cosx 0 x k. (k Z)
2
pi
≠ ⇔ ≠ + pi ∈ 
Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
3). Vì 1 s inx 0+ ≥ và 1 cosx 0− ≥ với mọi x nên 1 sinx 0
1 cosx
+ ≥
−
 với mọi x thỏa mãn điều kiện 
1 cosx 0− ≠ . Vậy hàm số 1 s inxy
1 cosx
+
=
−
xác định khi 1 cosx 0− ≠ hay cosx 1 x k.2≠ ⇔ ≠ pi . 
Vậy TXĐ: { }D R \ k.2 ,k Z= pi ∈ 
4). Vì 1 cosx 0− ≥ và 2cos x 0≥ với mọi x nên 
2
1 cosx
0
cos x
− ≥ với x thỏa mãn điều kiện 
cosx 0 x k.
2
pi
≠ ⇔ ≠ + pi . Vậy TXĐ: D R \ k. ,k Z
2
pi 
= + pi ∈ 
 
5). Hàm số x 3y 2 sin3x 3cos
x 2
+
= + +
−
 xác định x 2 0 x 2⇔ − ≠ ⇔ ≠ . 
Vậy TXĐ: { }D R \ 2= 
6). Hàm số 2x 2xy sin 5cos
x 3 2x 1
= −
+ −
 xác định 
x 3
x 3 0
1
2x 1 0 x
2
≠ −
+ ≠ 
⇔ ⇔ 
− ≠ ≠ 
. 
Vậy TXĐ: 1D R \ 3;
2
 
= − 
 
7). tanx xác định khi và chỉ khi x k. ,k Z
2
pi
≠ + pi ∈ , cotx xác định khi và chỉ khi 
x k. ,k Z≠ pi ∈ . 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 7 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Vậy y t anx c otx= + xác định khi và chỉ khi x k. k.(k Z) hay x (k Z)2
2
x k.
pi ≠ + pi pi
∈ ≠ ∈
 ≠ pi
. 
TXĐ: k.D R \ , k Z
2
pi 
= ∈ 
 
8). y tan 2x
4
pi 
= + 
 
 xác định khi và chỉ khi k.2x k. hay x (k Z)
4 2 8 2
pi pi pi pi
+ ≠ + pi ≠ + ∈ . 
Vậy TXĐ: k.D R \ , k Z
8 2
pi pi 
= + ∈ 
 
9). Biểu thức 1 cos
.sin
xy
x x
+
=
 có nghĩa khi và chỉ khi: x.s inx 0 x k≠ ⇔ ≠ pi 
Vậy tập xác định của hàm số là: { }D R \ k / k Z= pi ∈ 
10). Do ( ) ( )2 sin cos 1 sin 1 cos 0x x x x+ + = + + + >
Do đó hàm số 2 sin cosy x x= + + được xác định với mọi x. Vậy tập xác định của 
hàm số là: D = R 
11). Biểu thức 3
1 sin
tgxy
x
+
=
+
 có nghĩa khi và chỉ khi: 
22
2
sin 1 2
2
x k
x k
x k
x x k
pi
pi pi
pi pi
pi
pi
pi
 ≠ + ≠ + 
⇔ ⇔ ≠ + 
 ≠ − ≠ − + 
Vậy tập xác định của hàm số là: \ /
2
D R k kpi pi = + ∈ 
 
ℕ
12). Biểu thức 2 3cot 2
3
y tgx g x pi = + − 
 
 có nghĩa khi và chỉ khi : 
2 2
2
3 6 2
x k x k
x k x k
pi pi
pi pi
pi pi pi
pi
 ≠ + ≠ +  
⇔ 
 
− ≠ ≠ +
  
 Vậy tập xác định của hàm số là: 
\D D A B= ∪
 với /
2
A x x kpi pi = ≠ + 
 
 và /
6 2
B x x kpi pi = ≠ + 
 
. 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 8 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số 1 cos
sin
+
=
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 0 , .⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈ℤx x k kpi . 
Tập xác định là { }\ ,= ∈ℝ ℤD k kpi . 
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số ( )
sin
cos
=
−
xy
x pi
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
( ) 3cos 0 ,
2 2
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈ℤx x k x k kpi pipi pi pi pi . 
Tập xác định là 3\ ,
2
 
= + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 3. Tìm tập xác định của hàm số 2tan 5
3
 
= + 
 
y x pi . 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
2 2
cos 5 0 5 ,
3 3 2 30 5
 
⇔ + ≠ ⇔ + ≠ + ⇔ ≠ − + ∈ 
 
ℤx x k x k kpi pi pi pi pipi . 
Tập xác định là \ ,
30 5
 
= − + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số 2 cos
1 sin
+
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 1 2 ,
2
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈ℤx x k kpi pi . 
Tập xác định là \ 2 ,
2
 
= + ∈ 
 
ℝ ℤD k kpi pi . 
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số 2 cos
2 sin
+
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định sin 2⇔ ≠x (luôn thoả với mọi x). 
Tập xác định là = ℝD . 
Bài 6. Tìm tập xác định của hàm số 2 sin
cos 1
+
=
+
xy
x
. 
Hướng dẫn: Ta có 1 sin 1− ≤ ≤x và 1 cos 1− ≤ ≤x nên 2 sin 0+ >x và cos 1 0+ ≥x . 
Hàm số xác định ( )
2 sin 0
cos 1 ,cos 1
cos 1 0
+ ≥
⇔ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ + ∈+
 + ≠
ℤ
x
x x k kx
x
pi pi
luoân thoaû
. 
Tập xác định là { }\ ,= + ∈ℝ ℤD k kpi pi . 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 9 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 7. Tìm tập xác định của hàm số 5 3cos 2
1 sin 2
2
−
=
 
+ − 
 
xy
x
pi
. 
Hướng dẫn: Ta có 1 cos 2 1− ≤ ≤x nên 5 3cos 2 0− >x . 
Mặt khác 1 sin 2 0
2
 
+ − ≥ 
 
x
pi
. 
Hàm số xác định 
( )5 3cos2 0
1 sin 2
2 sin 2 1 2 2 ,
2 2 2
1 sin 2 0
2
− ≥  
 + −   
⇔ ⇔ − ≠ − ⇔ − ≠ − + ⇔ ≠ ∈   
    + − ≠ 
  
ℤ
luoân thoaû
x
x
x x k x k k
x
pi
pi pi pi
pi pi
pi
. 
Tập xác định là { }\ ,= ∈ℝ ℤD k kpi . 
Bài 8. Tìm tập xác định của hàm số 
2
1 cot
3
tan 3
4
 
+ + 
 
=
 
− 
 
x
y
x
pi
pi
. 
Hướng dẫn: 
Hàm số xác định 
2
sin 0
3 3 3
cos 3 0 3 ,
4 4 2 4 3
3tan 3 0 4 12 34
    + ≠ + ≠ ≠ − +      
   
⇔ − ≠ ⇔ − ≠ + ⇔ ≠ + ∈   
   
   
− ≠ ≠ +
− ≠      
ℤ
x x k x k
x x k x k k
x k x kx
pi pi pi
pi pi
pi pi pi pi pi
pi
pi pi pipi pi
. 
Tập xác định là \ , , ,
3 4 3 12 3
 
= − + + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k k kpi pi pi pi pipi . 
Bài 9. Tìm tập xác định của hàm số 1 tan 4
2sin 2
−
=
−
xy
x
. 
Hướng dẫn: 
Hàm số xác định 
4
8 42cos 4 0
2 2 ,2 4 4sin
2 3 32 2
4 4
 ≠ +≠ + 
≠ 
  
⇔ ⇔ ≠ + ⇔ ≠ + ∈  
≠  
  
≠ + ≠ + 
 
ℤ
x kx k
x
x k x k k
x
x k x k
pi pipi
pi
pi pi
pi pi
pi pi
pi pi
. 
Tập xác định là 3\ , 2 , 2 ,
8 4 4 4
 
= + + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k k kpi pi pi pipi pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 10 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 10. Tìm tập xác định của hàm số 1 coscot
6 1 cos
+ 
= + + 
− 
xy x
x
pi
. 
Hướng dẫn: Vì 1 cos 1− ≤ ≤x nên 1 cos 0+ ≥x và 1 cos1 cos 0 0
1 cos
+
− ≥ ⇒ ≥
−
x
x
x
. 
Hàm số xác định 
sin 0
,6 6 6
2 21 cos 0
ℤ
    + ≠ + ≠ ≠ − +   ⇔ ⇔ ⇔ ∈   
  ≠ ≠
− ≠  
x x k x k
k
x k x kx
pi pi pi
pi pi
pi pi
. 
Tập xác định là \ , 2 ,
6
 
= − + ∈ 
 
ℝ ℤD k k kpi pi pi . 
Bài 11. Tìm tập xác định của hàm số 2
12 sin
tan 1
= + −
−
y x
x
. 
Hướng dẫn: Vì 1 sin 1− ≤ ≤x nên 2 sin 0+ ≥x . 
Hàm số xác định 
( )
2
2 sin 0
tan 1 4tan 1 0 , ,
cos 0
cos 0 2
ℤ
 + ≥ ≠ ± + ≠ ± 
⇔ − ≠ ⇔ ⇔ ∈  
≠  ≠ +≠
 
x x k
x
x k m
x
x kx
luoân thoaû pi pi
pi
pi
. 
Tập xác định là \ , ,
4 2
 
= ± + + ∈ 
 
ℝ ℤD k k kpi pipi pi . 
Bài 12. Tìm tập xác định của hàm số 2
1 tan 2
3
cot 1
 
+ + 
 
=
+
x
y
x
pi
. 
Hướng dẫn: Hàm số xác định 
( )2cot 1 0
2
cos 2 0 ,3 2 12 2
3
sin 0
ℤ
 + ≠
  
+ ≠ + ≠ +   
⇔ + ≠ ⇔ ⇔ ∈   
    ≠≠  ≠
x
x k x k
x k
x kx k
x
luoân thoaû
pi pi pi pi
pipi
pipi
. 
Tập xác định là \  ... os
0cos
x
x
Khi đó (1) 13cos3coscoscos 22 =−+−⇔ xxxx 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 64 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Vì 
4
10)
2
1(
4
1 222 ≤−⇒≥−=+− aaaaa 
Do đó 
4
1
coscos 2 ≤− xx và 
4
13cos3cos 2 ≤− xx 
2
13cos3cos
2
1
coscos 22 ≤−≤−⇒ xxvàxx 
Dấu bằng xảy ra ∅∈⇔






=
=
⇔






=−
=−
⇔ x
x
x
xx
xx
2
13cos
2
1
cos
4
13cos3cos
4
1
coscos
2
2
Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 
Bài 5: Giải phương trình: xxx 433 sin2cossin −=+ 
Hướng dẫn 
xx
xxx
xxx
xxx
∀≥−
∀≤+⇒
∀≤
∀≤
,1sin2
,1cossin
,coscos
,sinsin
4
33
23
23
Vậy phương trình tương đương: 




=−
=+
1sin2
1cossin
4
33
x
xx
. ĐS )(2
2
Zkkx ∈+= pipi 
Bài 6: Giải phương trình: 02tansin =−+ xxx với 
2
0 pi≤≤ x 
Hướng dẫn 
Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 0=x 
Đặt xxxxf 2tansin)( −+= liên tục trên 





2
;0 pi 
Có đạo hàm: 




∈∀≥−−−=
2
;0,0
cos
)1cos)(cos1(cos)(' 2
2 pi
x
x
xxx
xf
 do 
01coscos
2
511cos0
2
51 2 <−−⇒+<≤≤<− xxx 
f⇒ đơn điệu tăng trên 





2
;0 pi 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 65 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP 
Bài 1: Giải phương trình: sin 2 os2 2sin 1x c x x− = − . 
Bài 2: Giải phương trình: 2sin 2 2cos 3sin cosx x x x− = − . 
Bài 3: Giải phương trình: 05sin82cos2 =−+ xx . 
Bài 4: Giải phương trình: 217sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
pi pi
+ + = + +
x
x x x 
Bài 5: Giải phương trình: 
23(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin 0
2cos 1
x x x x
x
+ − + −
=
+
Bài 6: Giải phương trình: 2(cos sin 2 ) 1 4sin (1 cos 2 )x x x x+ = + +
Bài 7: Giải phương trình: sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = + . 
Bài 8: Giải phương trình: 3sin cos 2 cos2 sin 2 0x x x x− + − − = 
Bài 9: Giải phương trình : ( ) ( )sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0− + − − − = 
Bài 10: Giải phương trình lượng giác: 2 2cos 3 cos 3sin 3sin 0x x x x+ + − =
Bài 11: Giải phương trình : ( ) ( )3 cos 2 - sin cos 2sin 1 0x x x x+ + = . 
Bài 12: Giải phương trình sau: 1cos sin 2 .
4 4 2
x x
pi pi   
− − + =   
   
Bài 13: Giải phương trình: ( ) ( ) 22sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + = . 
Bài 14: Giải phương trình: 2 5 3 8cos .cos sin cos x x x x+ = 
Bài 15: Giải phương trình sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = + . 
Bài 16: Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0+ − − = . 
Bài 17: Giải phương trình: 
23 sin 2 2cos 1 0
2cos 1
x x
x
− −
=
−
Bài 18: Giải phương trình: sin 2 2 2(s inx + cosx) = 5−x 
Bài 19: Giải phương trình 0)cos)(sincos21(2cos =−++ xxxx 
Bài 20: Giải phương trình: 22sin 3 sin 2 2 0x x+ − = . 
Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x
4
pi 
− 
 
-1= 0. 
Bài 22: Giải phương trình: 0)cos)(sincos21(2cos =−++ xxxx 
Bài 23: Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
pi 
+ = + + 
 
. 
Bài 24: Giải phương trình: sin 3 3 cos3 2sin 0x x x+ − = . 
Bài 25: Giải phương trình : 2 22sin 2sin tan
4
x x x
pi 
− = − 
 
Bài 26: Giải phương trình: 22sin 3 sin 2 2 0x x+ − = . 
Bài 27: Giải phương trình ( )22 1 2 2cosx sinx cosx sinx+ − = + . 
Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 1
4
x x x
pi 
− + = − 
 
. 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 66 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
HƯỚNG DẪN BÀI TẬP TỰ LUYỆN TỔNG HỢP 
Bài 1: Giải phương trình: sin 2 os2 2sin 1x c x x− = − . 
Hướng dẫn 
BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng : 22sinx(cos 1) 2sin 0x x− + = 
s inx 0
s inx(sin cos 1) 0
sin cos 1 0
x x
x x
=
+ − = ⇔  + − =
+ Với sinx 0 2x k pi= ⇔ = 
+ Với 
2
1
sin cos 1 0 sin( )
4 22
2
x k
x x x
x k
pi
pi
pi
pi
=
+ − = ⇔ + = ⇔
 = +

, k ∈Z 
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. , 2
2
x k x kpipi pi= = +
Bài 2: Giải phương trình: 2sin 2 2cos 3sin cosx x x x− = − . 
Hướng dẫn 
Phương trình đã cho tương đương 22sin 3sin 2 2sin cos cos 0x x x x x− − + + = 
 ( )( )2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ + + − = 
+ sin cos 2 0x x+ − = : Phương trình vô nghiệm 
+ 
2
62sin 1 0 ( )
7 2
6
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi

= − +
+ = ⇔ ∈

= +

ℤ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 72 , 2 ( ).
6 6
x k x k kpi pipi pi= − + = + ∈ℤ 
Bài 3: Giải phương trình: 05sin82cos2 =−+ xx . 
Hướng dẫn 
05sin82cos2 =−+ xx 05sin8)sin21(2 2 =−+−⇔ xx 
03sin8sin4 2 =+−⇔ xx 






=
=
⇔
2
1
sin
)(
2
3
sin
x
x lo¹i
pi
pi
pi
pi

= +
⇔ ∈

= +

Z
2
6 ( )
5
2
6
x k
k
x k
Bài 4: Giải phương trình: 217sin(2 ) 16 2 3.sin cos 20sin ( )
2 2 12
pi pi
+ + = + +
x
x x x 
Hướng dẫn 
Biến đổi phương trình đã cho tương đương với 
 os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0
6
c x x c x
pi
− + + + = 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 67 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
 os(2 ) 5 os( ) 3 0
3 6
c x c x
pi pi
⇔ + + + + = 
22 os ( ) 5 os( ) 2 0
6 6
c x c x
pi pi
⇔ + + + + = 
 Giải được 1os( )
6 2
c x
pi
+ = − và os( ) 2
6
c x
pi
+ = − (loại) 
+ Giải 1os( )
6 2
c x
pi
+ = − được nghiệm 2
2
x k
pi
pi= + và 5 2
6
x k
pi
pi= − + 
Bài 5: Giải phương trình: 
23(2.cos cos 2) (3 2cos ).sin 0
2cos 1
x x x x
x
+ − + −
=
+
Hướng dẫn 
ĐK: 
Pt đã cho tương đương với pt: 
Vậy pt có 2 họ nghiệm hoặc 
Bài 6: Giải phương trình: 2(cos sin 2 ) 1 4sin (1 cos 2 )x x x x+ = + + 
Hướng dẫn 
Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2sin 2 1 4sin 2 .cosx x x x+ = +
(1 2cos )(2sin 2 1) 0x x⇔ − − =
2
1 3
cos
2
1 12
sin 2 52
12
x k
x
x k
x
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi

= ± + = ⇔ ⇔ = + 
=   = +

 ( k Z∈ ) 
Vậy pt có nghiệm là: 2
3
x kpi pi= ± + ; 
12
x kpi pi= + ; 5
12
x kpi pi= + ( k Z∈ ) 
Bài 7: Giải phương trình: sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = + . 
Hướng dẫn 
(sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x− + − = 
⇔ ( ) 22sin cos 3 2sin 0x x x− + = ⇔ ( )2sin cos 3 sin 0x x x− + = 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 68 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
=
⇔  + =
⇔ x kpi= . Vậy nghiệm của PT là ,x k k Zpi= ∈ 
Bài 8: Giải phương trình: 3sin cos 2 cos2 sin 2 0x x x x− + − − = 
Hướng dẫn 
2sin x cos x 1 2sin x 2sin x 2sin x cos x 0− + + + − = 
⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0 
2
s inx cos x 1 sin(x )
4 21
s inx 1
s inx2
2
 pi −
− = −
− =
 ⇔ ⇔
− =
−
= 
⇔
7 2
6
2
6
3 2
2
2
x k
x k
x k
x k
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi

= +

−
= +


 = +


=
⇔ 
Bài 9: Giải phương trình : ( ) ( )sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0− + − − − = 
Hướng dẫn 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
x k2
sin x cos x 1
sin x 2cos x 4(VN) x k2
2
⇔ + − = + − − −
⇔ + − + + = + − − −      
= pi+ = ⇔ ⇔ pi 
− = = + pi

Bài 10: Giải phương trình lượng giác: 2 2cos 3 cos 3sin 3sin 0x x x x+ + − =
Hướng dẫn 
2 2cos x 3 cos x 3sin x 3sin x 0+ + − =
2 2
3 3
cos x 3 sin x
2 2
   
⇔ + = −   
   
3 3
cos x 3 sin x
2 2
3 3
cos x 3 sin x
2 2

+ = −
⇔

+ = − +

3 sin x cos x 0 (1)
3 sin x cos x 3 (2)
 + =
⇔ 
− =
(1) 1tan x
3
⇔ = − x k
6
pi
⇔ = − + pi 
(2) sin x sin
6 3
pi pi 
⇔ − = 
 
x k2
2
5
x k2
6
pi
= + pi
⇔ 
pi
= + pi

CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 69 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x k
6
pi
= − + pi hay x k2
2
pi
= + pi . 
Bài 11: Giải phương trình : ( ) ( )3 cos 2 - sin cos 2sin 1 0x x x x+ + = . 
Hướng dẫn 
sin 2 3 cos 2 3 sin cos
1 3 3 1
sin 2 cos 2 sin cos
2 2 2 2
x x x x
x x x x
⇔ + = −
⇔ + = −
sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin
3 3 6 6
x x x x
pi pi pi pi
⇔ + = − 
sin(2 ) sin( )
3 6
x x
pi pi
⇔ + = −
2 2 
3 6 ( )
2 ( ) 2
3 6
x x k
k
x x k
pi pi
pi
pi pi
pi pi

+ = − +
⇔ ∈
 + = − − +

ℤ
2
2 ( )
5 2
18 3
x k
k
k
x
pi
pi
pi pi

= − +
⇔ ∈

= +

ℤ 
Bài 12: Giải phương trình sau: 1cos sin 2 .
4 4 2
x x
pi pi   
− − + =   
   
Hướng dẫn 
Pt đã cho 1cos sin 2
4 4 2
x x
pi pi   
− − + =   
   
⇔ 2 cos 2 sin 2 1
4 4
x x
pi pi   
− − + =   
   
cos sin sin 2 os2 1x x x c x⇔ + − − = 
 ⇔ sin (1 2cos ) cos (1 2cos ) 0.x x x x− + − = 
 ⇔ (sin cos )(1 2cos ) 0.x x x+ − = 
⇔
cos sin 0
1 2cos 0
x x
x
+ =

− =
tan 1
4 ( )1
cos 22 3
x x k
k
x
x k
pi
pi
pi
pi

= − = − + 
⇔ ⇔ ∈
 = 
= ± + 
ℤ 
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: , 2 , ( )
4 3
x k x k kpi pipi pi= − + = ± + ∈ℤ . 
Bài 13: Giải phương trình: ( ) ( ) 22sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + = . 
Hướng dẫn 
( ) ( ) 22sin 1 3cos4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + = 
( ) ( ) 22sin 1 3cos4 2sin 4 1 4sinx x x x⇔ + + − + − 
( ) ( )2sin 1 3cos4 3 0x x⇔ + − = 
72 2 
6 6 2
x k hay x k hay x kpi pi pipi pi⇔ = − + = + = với k Z∈ . 
Bài 14: Giải phương trình: 2 5 3 8cos .cos sin cos x x x x+ = 
Hướng dẫn 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 70 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
PT ⇔ cos2x + cos8x + sinx = cos8x ⇔ 1- 2sin2x + sinx = 0 
⇔ sinx = 1 hoặc 1sin
2
= −x ⇔ 
72 ; 2 ; 2 , ( )
2 6 6
= + = − + = + ∈x k x k x k k Zpi pi pipi pi pi 
Bài 15: Giải phương trình sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = + . 
Hướng dẫn 
sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = + 
 ⇔ (sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x− + − = 
⇔ ( ) 22sin cos 3 2sin 0x x x− + = 
 ⇔ ( )2sin cos 3 sin 0x x x− + = 
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
=
⇔  + =
⇔ x kpi= . Vậy nghiệm của PT là ,x k k Zpi= ∈ 
Bài 16: Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0+ − − = . 
Hướng dẫn 
( ) ( ) ( ) ( )os2 1 2sin 1 2sin 0 os2 1 1 2sin 0+ ⇔ − − − = ⇔ − − =PT c x x x c x x 
+ Khi cos2x = 1 ⇔ x kpi= , k Z∈ 
+ Khi 1s inx
2
= ⇔ 2
6
x kpi pi= + hoặc 5 2
6
x kpi pi= + , k Z∈ 
Bài 17: Giải phương trình: 
23 sin 2 2cos 1 0
2cos 1
x x
x
− −
=
−
Hướng dẫn 
1
: osx
2
dk c ≠
23 sin 2 2 cos 1 0 3 sin 2 os2x=2
sin(2x- ) 1
6 3
pt x x x c
x kpi pi pi
⇔ − − = ⇔ −
⇔ = ⇔ = +
Đối chiếu đk , pt có nghiệm :
4
.2 ( )
3
= + ∈x m m Zpi pi
Bài 18: Giải phương trình: sin 2 2 2(s inx + cosx) = 5−x 
Hướng dẫn 
Đặt sinx + cosx = t ( 2t ≤ ). ⇒ sin2x = t2 - 1 
⇔ 2 2 2 6 0t t− − = ⇔ 2t = − (t/m) 
+ Giải được phương trình sinx + cosx = 2−  ⇔ os( ) 1
4
c x
pi
− = − 
+ Lấy nghiệm  
 Kết luận : 5 2
4
x kpi pi= + ( k∈Z ) 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 71 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 19: Giải phương trình 0)cos)(sincos21(2cos =−++ xxxx 
Hướng dẫn 
( ) 0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos =+−−⇔=−++ xxxxxxxx 






+=+=
+=
⇔






=





−
=





−
⇔


=+−
=−
⇔
pipipi
pi
pi
pi
pi
pi
2,2
2
4
1
4
sin2
0
4
sin2
01sincos
0cossin
kxkx
kx
x
x
xx
xx
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ), 2 , 2
4 2
x k x k x k kpi pipi pi pi pi= + = + = + ∈Z 
Bài 20: Giải phương trình: 22sin 3 sin 2 2 0x x+ − = . 
Hướng dẫn 
2 3 1 12sin 3 sin 2 2 0 3 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2
2 2 2
x x x x x x+ − = ⇔ − = ⇔ − = 
( )6sin 2 sin
6 6
2
x k
x k
x k
pi
pi
pi pi
pi
pi

= + 
⇔ − = ⇔ ∈ 
  
= +

ℤ 
Bài 21: Giải phương trình: sin2x + cosx- 2 sin x
4
pi 
− 
 
-1= 0. 
Hướng dẫn 
PT đã cho tương đương: sin2 cos (sin cos ) 1 0 2cos (sin 1) sin 1 0+ − − − = ⇔ + − − =x x x x x x x 
( ) ( )sin 1 2cos 1 0x x⇔ + − = sin 1x⇔ = − hoặc 
2
1
cos =x 
+ sin 1 2 .
2
= − ⇔ = − +x x kpi pi 
+ 
1
os 2
2 3
= ⇔ = ± +c x x kpi pi . 
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: 2
2
x kpi pi= − + ; 2
3
x kpi pi= ± + ( k Z∈ ) 
Bài 22: Giải phương trình: 0)cos)(sincos21(2cos =−++ xxxx 
Hướng dẫn 
PT ( ) 0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos =+−−⇔=−++ xxxxxxxx 






+=+=
+=
⇔






=





−
=





−
⇔


=+−
=−
⇔
pipipi
pi
pi
pi
pi
pi
2,2
2
4
1
4
sin2
0
4
sin2
01sincos
0cossin
kxkx
kx
x
x
xx
xx
VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm: ( ), 2 , 2
4 2
x k x k x k kpi pipi pi pi pi= + = + = + ∈Z 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 72 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 23: Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
pi 
+ = + + 
 
. 
Hướng dẫn 
cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
pi 
+ = + + 
 
⇔ = + +
⇔ 22cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 0+ − = 
( )( )cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0⇔ + + − = 
cos x 0
cos x sinx 0
1 sinx cosx 0
=
⇔ + =
 + − =
x k
2
x k
4
x k2
3
x k2
2
pi
= + pi

pi
= − + pi
⇔

= pi
 pi
= + pi

 ( )k ∈ℤ 
Vậy, phương trình có nghiệm: 
x k
2
x k
4
x k2
pi
= + pi

pi
= − + pi


= pi

( )k ∈ℤ 
Bài 24: Giải phương trình: sin 3 3 cos3 2sin 0x x x+ − = . 
Hướng dẫn 
sin 3 3cos3x 2sin 0x x+ − = 1 3sin 3 cos3x sin
2 2
x x⇔ + = sin 3 sin
3
x x
pi 
⇔ + = 
 
. 
Suy ra phương trình có các nghiệm: 
6
x kpi pi= − + ; 
6 2
x kpi pi= + (với k ∈ℤ ) 
Bài 25: Giải phương trình : 2 22sin 2sin tan
4
x x x
pi 
− = − 
 
Hướng dẫn 
Đ/K ( )cos 0
2
x x l lpi pi≠ ⇔ ≠ + ∈Z ( )* 
Phương trình 2 21 cos 2 2sin tan 1 sin 2 2sin tan
2
x x x x x x
pi 
⇔ − − = − ⇔ − = − 
 
( )2 cosx sinx2sin .cosx 2sin tan 1 0 2sin . cosx sinx 0
cos
x x x x
x
+
⇔ + − − = ⇔ + − =
( )( ) cos sin 0 tan 1cos sin sin 2 1 0
sin 2 1 0 sin 2 1
x x x
x x x
x x
+ = = − 
⇔ + − = ⇔ ⇔ 
− = = 
CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 73 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
4
,
4 2
4
x k
x k k
x k
pi
pi
pi pi
pi
pi

= − +
⇔ ⇔ = + ∈

= +

Z ( Thoả mãn điều kiện ( )* ) 
Bài 26: Giải phương trình: 22sin 3 sin 2 2 0x x+ − = . 
Hướng dẫn 
2 3 1 12sin 3 sin 2 2 0 3 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2
2 2 2
x x x x x x+ − = ⇔ − = ⇔ − = 
( )6sin 2 sin
6 6
2
x k
x k
x k
pi
pi
pi pi
pi
pi

= + 
⇔ − = ⇔ ∈ 
  
= +

ℤ 
Bài 27: Giải phương trình ( )22 1 2 2cosx sinx cosx sinx+ − = + . 
Hướng dẫn 
( )22 1 2 2 2 0 ( 2)(1 2 ) 0 (*)PT cosx sinx cos x cosx sinx cosx sin x⇔ + + − − − = ⇔ − + = 
Do 2 0cosx − ≠ nên (*) 1 2 0 2 1 .
4
sin x sin x x kpi pi⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + 
Bài 28: Giải phương trình lượng giác sau: 2 22cos 2 3 cos 4 4cos 1
4
x x x
pi 
− + = − 
 
. 
Hướng dẫn 
Phương trình ban đầu tương đương: 
21 cos 4 3 cos 4 4cos 1
2
x x x
pi 
+ − + = − 
 
2
2
sin 4 3 cos 4 4cos 2
1 3
sin 4 cos 4 2cos 1
2 2
cos 4 cos 2
6
x x x
x x x
x x
pi
⇔ + = −
⇔ + = −
 
⇔ − = 
 
12
36 3
x k
k
x
pi
pi
pi pi

= +
⇔ 

= +

NGUYỄN HỮU BIỂN - Tel: 0134.170.323 (ng.huubien@gmail.com)