Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng - Đặng Văn Vinh

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Đại số tuyến tính 
Chương 7: Trị riêng, véctơ riêng
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7.1 – Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
7.2 – Chéo hóa ma trận.
7.3 – Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao.
7.4 – Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.5 – Chéo hóa ánh xạ tuyến tính.
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
v
Av
u
Au
Ví dụ.
3 2
1 0
A
1
1
u
2
1
v
Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác
không, sao cho .Ax x 

Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tương ứng với trị riêng .
Tính và . Hãy cho biết nhận xét.Au Av
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải 1 6 6 24
5 2 5 20
Au
Ví dụ
1 6
5 2
A
6
5
u
3
2
v
Véctơ nào là véctơ riêng của A?
Ta có 4.Au u là véctơ riêngu 
1 6 3 9
5 2 2 11
Av
Không tồn tại số để Av v không là véctơ riêngv 
6
4 4.
5
u
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải. Xét hệ phương trình 1Ax x 
Ví dụ.
3 4
6 5
A
1 21; 3  
Số nào là trị riêng của A?
1 1
2 2
3 4
1
6 5
x x
x x
1 2
1 2
4 4 0
6 6 0
x x
x x
Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,
ví dụ
1
1
x
khi đó 1 . Ax x
Vậy là trị riêng.
1
Kiểm tra tương tự thấy không là trị riêng.2
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ thuần nhất có nghiệm khác không
Vậy là trị riêng khi và chỉ khi là nghiệm của phương
trình đặc trưng.
 
Giả sử là trị riêng của ma trận A0 0 0 0 00:x Ax x  
0 0 0 0Ax x 0 0( ) 0A I x 
0det( ) 0A I 
Đa thức gọi là đa thức đặc trưng của A.( ) det( )AP A I  
được gọi là phương trình đặc trưng của
ma trận vuông A.
det( ) 0A I 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( ) 0. A I
(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo )
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.
Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR (chẳng hạn)1
1( ) 0. A I Xbằng cách giải hệ phương trình
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng
với trị riêng 1.
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng
tương ứng với trị riêng đó.
Định nghĩa
Không gian nghiệm của hệ được gọi là
Định nghĩa
không gian con riêng ứng với TR , ký hiệu
1( ) 0A I X 
1 1E
Bội đại số của trị riêng là bội của trị riêng trong phương
trình đặc trưng.

Định nghĩa

Định lý. Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì
độc lập tuyến tính.
 1 2, ,..., mE x x x là các VTR ứng với các TR khác nhau
1 2, ,..., m   là các trị riêng tương ứng.
Giả sử hạng của bằngE r
Có thể giả sử là họ véctơ ĐLTT cực đại của E.1 2, ,..., rx x x
Khi đó là tổ hợp tuyến tính của1rx 1 2, ,..., rx x x
1
1
r
r i i
i
x x 
  1 1 1
1
r
r r r i i
i
A I x A I x 
   
 1
1
0
r
i i r i
i
x 
   vì ĐLTT nên1 2, ,..., rx x x
, 0ii 1 0rx 
vô lý vì là VTR.
Định lý. BHH của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng BĐS của nó.
 0 1 2dim( ) , ,..., rr E e e e  là cơ sở của KGCR.
Bổ sung vào E để có cơ sở của là
nK 1 2, ,..., ,...,r ne e e e
Đặt 1 2, ,..., nP e e e 
1P AP 1 1 2, ,..., nP Ae Ae Ae
0
01
0 0 * *
0 0 *
0 * *
0 0 0
P AP 
 
 

 
 
  

1P AP đồng dạng với A.
Bội đại số r 
1
0 1 0 2, ,..., nP e e Ae
   
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ.
3 1 1
2 4 2
1 1 3
A
det( ) 0A I 
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của
các kgian con riêng ứng.
Lập phương trình đặc trưng của A:
3 1 1
2 4 2 0
1 1 3



2 1( 2) ( 6) 0  
BĐS = 2 BHH chưa biết?1 2 Trị riêng
BĐS = 1 BHH = 12 6 Trị riêng
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1( ) 0 A I X
1
2 1 2
3
1 0
0 1
1 1
x
x x x
x
Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát
1 0
0 , 1
1 1
  
  
 
là cơ sở của kgian
con riêng
1 2
E E 
1
2
3
3 1 1
2 4 2 0
1
2
1 3
2
2
x
x
x
Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với 1 2. 
1
dim( ) 2E 
Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con
riêng ứng với trị riêng 2 6. 
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. 1 1 1
1 1 1
1 1 1


   

A
Tìm trị riêng; cơ sở, chiều
của các kgian con riêng ứng
của ma trận vuông cấp n.
Xét phương trình đặc trưng: det( ) 0A I 
Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng
1, ta có thừa số chung là suy ra là trị riêng thứ 2.( )n  2 n 
Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng .1 0 
Tương ứng với TR xét hệ thuần nhất 1( ) 0A I X 1 0 
Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của
TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của lớn hơn hoặc bằng n -1.1
Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!
7.1 Trị riêng, véctơ riêng của ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1) là trị riêng của A0
Ví dụ. Cho là trị riêng của ma trận vuông A.0
1) Chứng tỏ là trị riêng của ma trận Am.0
m
2) Giả sử A khả nghịch, chứng tỏ là trị riêng của A-1.
0
1

0 0 0 00:x Ax x  
0 0 0 0. ... . ....
mA x A A Ax A A A x 0 0...
mx 
Chứng tỏ là trị riêng của Am.0
m
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng (tức là
cùng chung tập trị riêng).
Định lý
Giả sử hai ma trận A và B đồng dạng, tức là 1( ) .P P AP B  
det( )B I 1det( )P AP I 1 1det( )P AP P IP 
1det( ( ) )P A I P 1det( ).det( ).det( )P A I P 
det( )A I Vậy A và B cùng đa thức đặc trưng.
Hai ma trận đồng dạng có cùng trị riêng nhưng các véctơ
riêng thì khác nhau.
Chú ý.
7.2 Chéo hóa ma trận 
------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A gọi là chéo hóa được nếu A đồng dạng với
ma trận chéo.
Định nghĩa
Tức là tồn tại ma trận khả nghịch P sao cho 1P AP D 
trong đó D là ma trận chéo.
Không phải ma trận vuông nào cũng chéo hóa được.
Chéo hóa ma trận A là tìm ra ma trận khả nghịch P và ma
trận chéo D.
Ta phân tích cấu trúc của ma trận P và cấu trúc ma trận D.
Giả sử ma trận vuông A chéo hóa được bởi ma trận P và D.
11 1
1
n
n nn
a a
A
a a

  

11 1
1
n
n nn
p p
P
p p

  

 *1 *2 *nP P P 
1
2
0 0
0 0
0 0 n
D





   

7.2 Chéo hóa ma trận
------------------------------------------------------------------------------------------
Trong đó là các cột thứ 1, thứ 2, ., thứ n
tương ứng của ma trận P.
*1 *2 *, ,..., nP P P
11 11
1
1 1
1
n n
n nn nnn
a a p
AP
a a p
p
p
 
     
 
Cột thứ nhất của AP là:
7.2 Chéo hóa ma trận
------------------------------------------------------------------------------------------
AP PD 
1P AP D Ta có
*1AP 
Cột thứ nhất của PD là
111 1
1 0n
n
nn n
p
PD
p
p
p 
 
 




*11P 
Vậy *1 1 *1AP P Hay là trị riêng của A.1
là véctơ riêng của A tương ứng với trị riêng*1P 1.
7.2 Chéo hóa ma trận
------------------------------------------------------------------------------------------
Hoàn toàn tương tự ta thấy:
Tất cả các cột của ma trận P là các véctơ riêng của A.
Các phần tử nằm trên đường chéo của D là các trị riêng của A.
Vì P là ma trận khả nghịch nên tất cả các cột (các véctơ riêng
của A) độc lập tuyến tính.
Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại n
véctơ riêng độc lập tuyến tính.
Định lý
Nếu ma trận vuông A cấp n có đúng n trị riêng phân biệt thì
A chéo hóa được.
Hệ quả 1.
7.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A cấp n chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình
học của mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng.
Hệ quả 2 (thường sử dụng trong bài tập)
Giả sử phương trình đặc trưng của A là 2 1( 2) ( 3) 0  
1 3 Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2 2 Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
Để tìm BHH của TR ta tìm chiều của không gian con
riêng (khgian nghiệm) tương ứng của hệ
2 2 
2( ) 0.A I X 
Nếu BHH của bằng 2, thì BHH của cả hai trị riêng bằng
BĐS của chúng, suy ra A chéo hóa được để tạo nên ma trận P.
2 2 
Trong trường hợp này, ta chọn đủ 3 VTR độc lập tuyến tính: 1
VTR ứng với và 2 VTR ứng với .1 2
7.2 Chéo hóa ma trận
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Lập phương trình đặc trưng. Giải tìm trị riêng. Xác
định bội đại số của từng trị riêng.
Các bước chéo hóa ma trận vuông A cấp n.
Bước 2. Giải các hệ phương trình tương ứng với từng trị
riêng. Tìm cơ sở của các không gian con riêng. Xác định
bội hình học của trị riêng.
Bước 3. Nếu bội hình học của một TR nào đó nhỏ hơn BĐS
của TR này thì A không chéo hóa được.
Giả sử hệ quả 2 thỏa, suy ra A chéo hóa được. Ma trận P có
các cột là các cơ sở của những kgian con riêng. Các phần tử
trên đường chéo chính của D là các trị riêng.
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Chéo hóa ma trận A (nếu được).
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
Bước 1. Tìm tất cả các trị riêng của A
3 2 20 det( ) 3 4 ( 1)( 2)A I     
1 1 Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2 2 Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 2. Tìm 3 véctơ riêng độc lập tuyến tính của A
1 1 Cơ sở : 1
1
1
1
v
2 2 Cơ sở : 2 3
1 1
1 ; 0
0 1
u u
Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.1 1 
1
1 2
3
0 3 3 0
3 6 3 0
3 3 0 0
x
A I X x
x

7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 3. BHH của
22
dim( ) 2E = BĐS của .2
BHH của
11
dim( ) 1E = BĐS của .1
Vậy A chéo hóa được. 1 1 1
1 1 0
1 0 1
P
1 0 0
0 2 0
0 0 2
D
Thiết lập ma trận P:
Thiết lập ma trận D:
Chú ý: các cột của ma trận P có thể đổi chổ cho nhau, miễn
sao TR và VTR tương ứng nằm trên cùng một cột.
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ 6. Chéo hóa ma trận A (nếu được).
2 4 3
4 6 3
3 3 1
A
3 2 20 det( ) 3 4 ( 1)( 2)A I     
1
1
1
1
u
2
1
1
0
u
Cơ sở : 1 1 Cơ sở: 2 2 
BĐS của là 2 lớn hơn BHH của .2 2 2
Suy ra A không chéo hóa được.
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. a) Chéo hóa ma trận A nếu được.
5 0 0 0
0 5 0 0
1 4 3 0
1 2 0 3
A
b) Tính A100
2 20 det( ) ( 5) ( 3)A I   
1 2
8 16
4 4
;
1 0
0 1
u u
Cơ sở :
1 5 
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 4
0 0
0 0
;
1 0
0 1
u u
Cơ sở :
2 3 
8 16 0 0
4 4 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
P
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
D
1 P AP D 1 A PDP
100 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )  A PDP PDP PDP PDP
1 1100 1 1( ) ( ) A PD DP PD PP DPP P
100 100 1A PD P 
7.2 Chéo hóa ma trận 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận vuông thực cấp 3 có ba trị riêng là 2, -3, 1
A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận D như sau:
có 3 véctơ riêng tương ứng là 1 2 3
2 1 1
1 ; 2 ; 1
1 1 1
x x x
2 1 1
1 2 1
1 1 1
P
2 0 0
0 3 0
0 0 1
D
Suy ra ma trận vuông cần tìm là 1A PDP 
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,.n và j =1,,n
được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)
Định nghĩa ma trận đối xứng thực
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu A-1=AT.
Định nghĩa ma trận trực giao
1/ 2 1/ 18 2 / 3
0 4 / 18 1/ 3
1/ 2 1/ 18 2 / 3
P
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận vuông A là ma trận trực giao nếu các cột của A tạo nên
họ trực chuẩn.
Hệ quả
Để thiết lập ma trận trực giao ta dùng hệ quả sau.
Ma trận vuông A được gọi là chéo hóa trực giao nếu tồn tại
ma trận trực giao P và ma trận chéo D sao cho
A = PDP-1=PDPT.
Định nghĩa
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho A là ma trận đối xứng thực. Khi đó các mệnh đề sau đúng:
Định lý
1. Trị riêng của A là những số thực.
2. Ma trận A chéo hóa trực giao (tương đương bội hình học của
mọi trị riêng bằng bội đại số của chúng)
3. Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì vuông
góc với nhau.
Chú ý: ma trận vuông tùy ý chưa chắc chéo hóa được
Ma trận đối xứng thực luôn chéo hóa được bởi ma trận trực
giao P.
Hiển nhiên. Ma trận chéo hoá trực giao được thì đối xứng.
1. Xét đại lượng
Chứng minh
T
q x Ax 
Khi đó ta có: 
TT T T Tq x Ax x Ax x Ax x Ax 
T
q x Ax q Vậy là số thực.q
0 0 0Ax x  0 0 0 0 0
T T
x Ax x x 
0 0 0 0 0 0
T T
q x Ax x x R   
Giả sử là trị riêng và là véctơ riêng đơn vị tương ứng.0 0x
Khi đó
Vậy trị riêng là số thực.
Giả sử là một cặp trị riêng, véctơ riêng đơn vị. 1 1, x
Giả sử là cơ sở  ...  1
1
( , )
4
( , )
1
x f
f x f f
f f
Dùng quá trình Gram – Schmidt, tìm cơ sở trực giao
của không gian con riêng :
1
7 E
{ }1 2,F f f 
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
2
1 ;
2
x
Cơ sở của không gian con riêng có một véctơ nên đó
cũng là cơ sở trực giao:
2
2E 
Cơ sở trực chuẩn của
2
E 3
2 / 3
1/ 3 ;
2 / 3
f
1 1
2 18
4
0
18
1 1
2 18
2
3
1/ 3
2
3
P
2
0 0
0 0
7
7
0 0
D
Vậy ma trận trực giao P và ma trận chéo D là:
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 3, để tìm cơ sở trực giao (rồi
trực chuẩn) của không gian con riêng có chiều bằng hai, ta có
thể không sử dụng quá trình Gram – Schmidt.
Trong ví dụ trước ta có thể tìm cơ sở trực giao của như sau:
1
E
Kgian con riêng là kgian nghiệm của hệ 1( ) 0A I X 
1 2
2
1
2
x x
x x
x
Chọn một véctơ
của cơ sở 1
1
0
1
f
Tìm véctơ còn
lại ở dạng
1 2
2 2
1
2
x x
f x
x
sao cho 2 1f f
1 2 1 0x x x 
Chọn suy ra1 1x 2 2x Vậy véctơ thứ hai là: 2
1
4
1
f
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ. Tìm ma trận đối xứng thực cấp 3 (khác với ma trận
chéo) sao cho có ba trị riêng là .1 2 32; 1; 1   
A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận
trực giao P và ma trận chéo D. 2 0 0
0 1 0
0 0 1
D
Theo đề bài ta có ma trận chéo:
Cần tìm một ma trận trực giao P.
Chọn một cơ sở tùy ý (khác với cơ sở chính tắc) của R3:
{ }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E 
Dùng quá trình Gram – Schmidt đưa E về cơ sở trực giao, sau
đó trực chuẩn hóa, ta được cơ sở trực chuẩn.
Các cột của ma trận trực giao P là cơ sở trực chuẩn này.
Kết luận. Ma trận đối xứng thực cần tìm: 1 TA PDP PDP 
7.3 Chéo hóa ma trận đối xứng bởi ma trận trực giao 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A là ma trận đối xứng thực nên trị riêng của A là những số thực.
Nếu , thì i là trị riêng của ma trận đối xứng A
(điều không thể xảy ra)
det( ) 0A iI 
det( ) 0A iI Vậy
Hay (A – iI) khả nghịch.
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp 3.
Chứng tỏ rằng ma trận khả nghịch.A iI 
Trong đó i là đơn vị ảo, và I là ma trận đơn vị cùng cấp A.
Ví dụ.
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong chương ánh xạ tuyến tính ta biết: có thể coi ánh xạ tuyến
tính là ma trận, cho nên tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ
tuyến tính là tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận.
Chéo hóa ánh xạ tuyến tính là chéo hóa ma trận.
Số được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ
khác không, sao cho .( )  f x x
 K
Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ánh xạ tuyến
tính f tương ứng với trị riêng .
Định nghĩa
Cho V là K-kgvt, ánh xạ tuyến tính .:f V V 
x V 
Chú ý: véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính là véctơ có ảnh tỉ lệ
với véctơ ban đầu.
Nếu xét trong không gian thực: VTR là véctơ có ảnh cùng
phương với véctơ ban đầu (tạo ảnh).
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử véctơ 0 00; ( )v v Khi đó: 0 0( )f v v 01.v 
Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.0v 0 1 
Khi đó: 1 1( )f v v 1( 1).v 
Suy ra là VTR của f và là trị riêng của f.1v 1 1 
Giả sử véctơ 1 10; ( )v v 
Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng qua mặt phẳng
y = x trong hệ trục tọa độ 0xyz. Tìm TR và VTR của f.
Ví dụ
( ) 
Tất cả các vectơ khác không thuộc là VTR ứng với TR( ) 0
Tất cả các vectơ vuông góc với là VTR ứng TR( ) 0 1
Không còn TR, VTR loại khác. (tại sao?)
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
là trị riêng của ma trận A.0 
Giả sử là TR của axtt f0 0 0 0 0 00; : ( )x x V f x x  
Cho V là K-kgvt, E là một cơ sở của V.
: .f V V Cho ánh xạ tuyến tính
A là ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.
0 0 0[ ( )] [ ]E Ef x x 0 0 0[ ] [ ]E EA x x 
là VTR của ma trận A ứng với TR0[ ]Ex 0.
Kết luận. 1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại.
2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng với TR ,0x 0
thì véctơ sao cho là VTR của f ứng với TR0[ ]Ex x 0.x
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bước 1. Chọn một cơ sở E tùy ý của kgvt V.
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
Bước 2. Tìm TR và VTR của ma trận A.
Bước 3. Kết luận
1) TR của ma trận là TR của axtt và ngược lại.
2) Nếu véctơ là VTR của ma trận A ứng với TR ,0x 0
thì véctơ sao cho là VTR của f ứng với TR0[ ]Ex x 0.x
Chú ý. VTR của ma trận không hẳn là VTR của axtt mà là tọa độ
của VTR của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E.
Cần đổi sang cơ sở chính tắc.
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5 10 5
2 14 2
4 8 6
AMa trận của f trong E là:
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
Ví dụ
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( , , )
(5 10 5 ,2 14 2 , 4 8 6 )
f x f x x x
x x x x x x x x x
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 là: { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E 
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
2( 5)( 10) 0  
1 25, 10  Trị riêng của ma trận A là:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
0 10 5
( ) 2 9 2 0
4 8 1

x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:
Giải hệ phương trình1 5 
5
2
4
x 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1
5
2 ,
4
0 
VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1  
5
2
4
E
x
(5 , 2 ,4 )x (vì E là cơ sở chính tắc)
Tương tự cho trị riêng 2
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2
1 3 1
1 1 1
AMa trận của f trong E là:
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
1) Chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E 
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A. ( 2)( 4) 0   
1 2 30, 2, 4   Trị riêng của ma trận A là:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
(1,1,1) (2,1,3); (1,0,1) (6,3,5); (1,1,0) ( 2, 1, 3).f f f 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
2 2 2
( ) 1 3 1 0
1 1 1

x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:
Giải hệ phương trình1 0 
1
0
1
x 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1 0
1
0 ,
1
VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1   0Ex
(1,1,1) 0(1,1,1) (1,1,0)x 
Tương tự cho trị riêng 2 3, 
(2 ,2 , ), 0 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 2
14 25 14
A
vì ma trận của f trong E đã cho sẵn là A.
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cơ sở là
3 3:f R R 
Ví dụ
Tìm trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính f.
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
2) Tìm trị riêng, véctơ riêng của A.
2( 3)( 6) 0  
1 23, 6  Trị riêng của ma trận A là:
Đây cũng là trị riêng của ánh xạ tuyến tính.
1) Hiển nhiên chọn cơ sở của R3 là: { }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
1 2
3
1 2 1
( ) 2 4 2 0
14 25 11

x
A I X x
x
3) Tìm véctơ riêng của A:
Giải hệ phương trình1 3 
1
1
1
x 
VTR của A ứng với TR là tất cả các véctơ1
1
1 ,
1
0 
VTR của f ứng với TR véctơ x sao cho1  Ex
(1,1,1) (1,2,1) (1,1,2)x 
Tương tự cho trị riêng 2
( ,0,2 ), 0 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 1
2 1 2
14 25 14
A
Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f trong
cơ sở là
3 3:f R R 
Ví dụ
1) Tính 2)
{ }(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)E 
(2,4,3)f (2,0,4)f
Để giải câu 1) và 2) ta sử dụng công thức    ( ) E Ef x A x 
Tuy nhiên theo ví dụ trước ta thấy véctơ (2,0,4) là VTR của f
tương ứng với TR 1 3 
Vậy (2,0,4) (2,3. 0,4) (6,0,12)f 
7.4 Trị riêng, véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo định nghĩa của trị riêng, véctơ riêng của axtt ta có:
Biết ảnh của một cơ sở của R3, suy ra ta có thể tìm được f(x).
Tìm ánh xạ tuyến tính , biết f có 3 trị riêng là3 3:f R R 
Ví dụ
(1,1,1),(1,2,1),(1,1,2)
1 2 12, 1, 0   
và 3 véctơ riêng tương ứng là
(1,1,1) 2(1,1,1) (2,2,2)f 
(1,2,1) 1(1,2,1) (1,2,1)f 
(1,1,2) 0(1,1,2) (0,0,0)f 
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trong chương trước ta biết ánh xạ tuyến tính là một ma trận A
của ánh xạ trong một cơ sở E nào đó.
Cho ánh xạ tuyến tính :f V V 
Khi làm việc với axtt f ta làm việc với ma trận A này.
Trong không gian véctơ V có vô số cơ sở E, F, G,..
Tương ứng với các cơ sở đó có vô số ma trận của f trong các cơ
sở khác nhau đó.
Mỗi ma trận đều đại diện (thay thế) cho ánh xạ tuyến tính. Khi
làm việc với axtt, ta làm việc với một trong các ma trận này.
Chọn một ma trận có cấu trúc đơn giản nhất, nếu có thể ta chọn
ma trận chéo D.
Bài toán đặt ra: Tìm cơ sở B (nếu có) của V sao cho ma trận
của f trong B là ma trận chéo D.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ánh xạ tuyến tính có thể coi là một ma trận nên chéo hóa ánh
xạ tuyến tính cũng là chéo hóa ma trận.
Ánh xạ tt chéo hóa được khi và chỉ khi ma trận chéo hóa được.
Ma trận của ánh xạ tt trong các cơ sở khác nhau thì đồng dạng
nên chúng có cùng đa thức đặc trưng, cùng tập trị riêng.
Một ma trận của f trong cơ sở A chéo hóa được thì ma trận của
f trong các cơ sở khác cũng chéo hóa được và ngược lại.
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính gọi là chéo hóa được nếu tồn tại
cơ sở B của V, sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận
chéo D.
:f V V 
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E.
Bước 2. Chéo hóa ma trận A (nếu được)
Nếu A chéo hóa được, thì f chéo hóa được.
Giả sử A chéo hóa được bởi ma trận P và ma trận chéo D.
Bước 1. Chọn một cơ sở E của không gian véctơ V.
Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính :f V V 
Bước 3. Kết luận
Nếu A không chéo hóa được, thì f không chéo hóa được.
Khi đó cơ sở B cần tìm có: tọa độ mỗi véctơ của B trong cơ sở
E là một cột của ma trận P.(Chú ý!!)
Ma trận của f trong cơ sở B là ma trận chéo D.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận của f trong E là
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) (2 2 , 2 2 ,14 25 14 )f x x x x x x x x x x 
3 3:f R R 
Ví dụ
Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B
là ma trận chéo D, tìm D. (Tương đương: chéo hóa f nếu được).
2) Chéo hóa (nếu được) ma trận A. 2( 3)( 6) 0  
1) Chọn cơ sở chính tắc của R3 { }(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)E 
2 2 1
2 1 2
14 25 14
A
Kiểm tra thấy BHH của nhỏ hơn BĐS của nó.2 6 
Vậy A không chéo hóa được, suy ra f không chéo hóa được.
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho ánh xạ tuyến tính , biết3 3:f R R 
Ví dụ
Tìm một cơ sở B (nếu có) của R3 sao cho ma trận của f trong B
là ma trận chéo D, tìm D. (Tương đương: chéo hóa f nếu được).
(1,1,1) (1, 7,9); (1,0,1) ( 7,4, 15); (1,1,0) ( 7,1, 12).f f f 
1 4 4
8 11 8
8 8 5
A
Bước 1. Tìm ma trận của f trong { }(1,1,1),(1,0,1),(1,1,0)E 
Bước 2. Chéo hóa A (nếu được).
Phương trình đặc trưng: 2( 1)( 3) 0  
1 1 Bội đại số = 1 Bội hình học = 1
2 3 Bội đại số = 2 Bội hình học = ?
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tìm VTR của f
2 3: 
1 1: 2
2
x
Hệ 1( ) 0A I X 
VTR của f ứng với TR là x sao cho1 1   2
2
E
x
(1,1,1) 2 (1,0,1) 2 (1,1,0)x ( , ,3 ) 
x
 

Hệ 2( ) 0A I X 
VTR của f ứng với TR là x sao cho2 3  Ex
 

Chọn một VTR của f ứng với TR là: 1 (1, 1,3)b 1 1 
7.5 Chéo hóa ánh xạ tuyến tính 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B là:
(2 2 , 2 ,2 )x    
( )(1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)x   
Chọn hai VTR độc lập tuyến tính của f ứng với TR là2 3 
(2,1,2) (2,2,1)x  
2 3(2,1,2); (2,2,1)b b 
Cơ sở B cần tìm là: { }(2,1,2)(1, 1, (2,; 23 1)) ; ,B 
0 0
0
1
30 0
3 0D 
Bài tập
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 4 2
1) 3 4 0 ; 1,2,3.
3 1 3

A
1. Chéo hóa các ma trận sau (nếu được)
4 2 2
2) 2 4 2 ; 2,8.
2 2 4

A
2 2 1
3) 1 3 1 ; 0,1,4.
1 1 0
A 
4 0 2
4) 2 5 4 ; 5,4
0 0 5

A
7 4 16
 2 5 8 ; 3,35) ,1.
2 2 5

A
0 4 6
6) 1 0 3 ; 2,2,1.
1 2 5
A 
Bài tập
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Chứng minh rằng nếu A chéo hóa và khả nghịch thì A-1
cũng chéo hóa và khả nghịch.
3. Chứng tỏ nếu ma trận vuông A cấp n có n VTR độc lập
tuyến tính thì ma trận AT cũng có n VTR độc lập tuyến tính.
4. Chứng tỏ nếu B đồng dạng với A và A chéo hóa được thì
B cũng chéo hóa được
5. Chứng tỏ nếu B = P-1AP và x là VTR của A tương ứng với
TR , thì P-1x là VTR của B ứng với TR này.
6. Chứng tỏ nếu A đồng dạng với B, thì rank(A) = rank(B).
7. Chứng tỏ nếu A chéo hóa được, thì A và AT đồng dạng.
8. Chứng tỏ nếu A đồng dạng B, thì A2 và B2 đồng dạng.