Trắc nghiệm và tự luận Phương pháp tọa độ trong không gian (Phần 2)

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 82 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
 Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0( ; ; )M x y z và có vectơ chỉ
phương 1 2 3( ; ; ) a a a a với 0a là: 
1
2
3
( ) : ( )
o
o
o
x x a t
d y y a t t
z z a t
 Nếu 1 2 3 0 a a a thì 
0 0 0
1 2 3
( ) :
x x y y z z
d
a a a
được gọi là phương trình chính tắc của d
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
 Cho hai đường thẳng ,d d lần lượt đi qua hai điểm 0 0 0 0; ;M x y z , 0 0 0 0; ;M x y z và có vectơ 
chỉ phương lần lượt là 1 2 3; ;a a a a , 1 2 3; ;a a a a . Khi đó, ta có:
0
; 0a a
d d
M d
€
0
; 0a a
d d
M d
  
 d cắt d 
0 0
; 0
; . 0
a a
a a M M
 d và d chéo nhau 
0 0
; . 0a a M M 
 . 0d d a a  
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho mặt phẳng : 0 Ax By Cz D và đường thẳng
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
Xét phương trình: 0 1 0 2 0 3( ) ( ) ( ) 0 A x ta B y ta C z ta D (ẩn t) (*) 
 d € (*) vô nghiệm
 d cắt (*) có đúng một nghiệm 
 d  (*) có vô số nghiệm
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 83 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
Cho đường thẳng 
0 1
0 2
0 3
:
x x ta
d y y ta
z z ta
(1) và mặt cầu 2 2 2 2: ( ) ( ) ( ) S x a y b z c R (2) 
Để xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu S ta thay (1) vào (2), a được phương
trình: 
2 2 2
0 1 0 2 0 3
0x ta a yx ta b z ta c (*) 
 d và S không có điểm chung (*) vô nghiệm ,d I d R 
 d tiếp xúc S (*) có đúng một nghiệm ,d I d R 
 d cắt S tại hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt ,d I d R 
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
Cho đường thẳng d đi qua 
0
M và có VTCP a và điểm M . 
0 ;
( , )
M M a
d M d
a
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau 
1
d và 
2
.d
1
d đi qua điểm 
1
M và có VTCP 1a , 2d đi qua điểm 2M và có VTCP 2a
 
 
1 2 1 2
1 2
1 2
, .
( , )
,
a a M M
d d d
a a
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
1 2
, d d bằng khoảng cách giữa 
1
d với mặt 
phẳng chứa 2d và song song với 1.d
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng . 
8. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 
1 2
, d d lần lượt có các VTCP 1 2,a a . 
Khi đó góc giữa 
1 2
, d d là: 1 21 2 1 2
1 2
.
cos ; cos ,
.
a a
d d a a
a a
9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
Cho đường thẳng d có VTCP 1 2 3( ; ; ) a a a a và mặt phẳng có VTPT ( ; ; ) n A B C .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của
nó trên . 
 1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3
sin , ( )
.
Aa Ba Ca
d
A B C a a a
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 84 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết 1 véctơ chỉ phương.
Phương pháp giải: 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm 0 0 0 0; ;M x y z và có một
vectơ chỉ phương 1 2 3; ; a a a a với 
2 2 2
1 2 3 0 a a a có phương trình tham số là: 
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t
z z a t
. 
VD 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ ,Oxyz cho hai mặt phẳng : 2 3 4 0 P x y z và
 :3 2 5 4 0. Q x y z Giao tuyến của P và Q có phương trình tham số là: 
A.
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
. B.
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
. C.
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
. D.
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Cách 1: Xét hệ 
2 3 4 0
 ( )
3 2 5 4 0
x y z
x y z
Cho 0 x thay vào ( ) tìm được 8, 4 y z
Đặt (0; 8; 4) A 
Cho 0 z thay vào ( ) tìm được 2, 1 x y 
Đặt (2; 1;0) B 2;7;4 AB là một VTCP của P Q
Như vậy, phương trình tham số của P Q là
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
Chọn đáp án A. 
Cách 2: Xét hệ 
2 3 4 0
 ( )
3 2 5 4 0
x y z
x y z
Cho 0 z thay vào ( ) tìm được 2, 1 x y 
Đặt (2; 1;0) B 
 : 2 3 4 0 P x y z có VTPT (1; 2;3) Pn
 :3 2 5 4 0 Q x y z có VTPT (3;2; 5) Qn
 , 4;14;8 P Qn n chọn (2;7;4) u là một VTCP của giao tuyến P Q
Như vậy, PTTS của P Q là
2 2
1 7
4
x t
y t
z t
Chọn đáp án A. 
Cách 3: (kỹ năng máy tính cầm tay) 
Xem như phím A,B,C (trên máy) là , ,x y z (trong phương trình), nhập cùng lúc 2 biểu thức 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 85 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
A 2B 3C 4:3A 2B 5C 4 
Rút toạ độ điểm 0 0 0( ; ; )x y z từ trong các PTTS của các câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy. 
KQ ứng với câu nào cho 2 đáp số cùng bằng 0 thì nhận (ở bài này tạm thời nhận A và B) 
Tiếp tục cho 1 t (ngoài nháp) vào mỗi PTTS được nhận để có bộ số ( ; ; )x y z lại thay vào 2 
biểu thức đã nhập trên màn hình 
Lại tìm bộ số cho 2 đáp số cùng bằng 0 (ở bài này câu A đảm bảo điều đó nên đáp án là A) 
VD 2. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz cho đường thẳng d đi qua điểm 1; 2;0 M và có
véctơ chỉ phương 0;0;1 .u Đường thẳng d có phương trình tham số là:
A. 
1
2
x
y
z t
. B. 
1
2 2
x t
y t
z t
. C. 2
1
x t
y t
z
. D. 
1 2
2
0
x t
y t
z
. 
Hướng dẫn giải 
Học thuộc lòng công thức 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 và thay số vào nhé 
1 0 1
2 0 2
0 1
x t x
y t y
z t z t
Chọn đáp án A. 
VD 3. Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm (1;2;3)M và có véctơ chỉ 
 1; 4;5 a là
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. B. 
1
4 2
5 3
x t
y t
z t
. C. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. D. 
1
4 2
5 3
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm (1;2;3)M và có một vectơ chỉ phương 1; 4;5 a có phương
trình tham số là:
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. 
Chọn đáp án A. 
VD 4. Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm (0; 2;5) M và có véctơ chỉ 
 1; 1;3 a là
A. 
1 0
1 2
3 5
x t
y t
z t
B. 
1
4 2
5 3
x t
y t
z t
C. 
0 2
2 2
5 6
x t
y t
z t
D. 
0 2
2 2
5 6
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 86 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Đường thẳng d đi qua điểm (0; 2;5) M và có vectơ chỉ phương 1; 1;3 a có phương trình
tham số là:
0 2
2 2
5 6
x t
y t
z t
. 
Chọn đáp án C. 
VD 5. Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm (1;2;3)M và có véctơ chỉ 
 2;0;0 a là
A. 
1
2
3
x t
y t
z t
. B. 
1
0 2
0 3
x t
y t
z t
. C. 
1
2
3
x t
y
z
. D. 
1
2
3
x t
y t
z
. 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm (1;2;3)M và có véctơ chỉ phương 2;0;0 a có phương trình
tham số là:
1
2
3
x t
y
z
. 
Chọn đáp án C. 
VD 6. Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua gốc tọa độ O và có véctơ chỉ phương 
 2; 3;1 a là
A. 
2
3
1
x t
y t
z t
 . B. 
0 2
0 3
0
x t
y t
z t
. C. 
1 2
0 3
0
x t
y t
z t
. D. 
1
2
3
x t
y t
z
. 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng d đi qua điểm qua gốc tọa độ O và có véctơ chỉ phương 2; 3;1 a có phương
trình tham số là:
0 2
0 3
0
x t
y t
z t
. 
Chọn đáp án B. 
Dạng 2. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ;M N . 
Phương pháp giải: 
 Tìm tọa độ véctơ MN
 Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua M ( hoặcN ) và có véctơ chỉ phương cùng
phương với véctơ MN
VD 7. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz đoạn thẳng AB với hai đầu mút lần lượt là 2;3; 1 A
và 1;2;4B có phương trình tham số là:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 87 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
A. 
1
2 1 2
4 5
x t
y t t
z t
. B. 
2
3 1 0
1 5
x t
y t t
z t
. 
C. 
1
2 0 1
4 5
x t
y t t
z t
. D. 
2
3 2 4
1 5
x t
y t t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Phương pháp: Để tìm toạ độ các điểm đầu mút của một đoạn thẳng có phương trình tham số 
có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) của tham số vào phương trình tìm , , .x y z 
a) Với phương án A, thay 1 t vào PTTS ta được toạ độ điểm là 2;3; 1 
nhưng 2 t thì ta lại được điểm 3;4; 6 khác toạ độ điểm A và điểm B
b) Với phương án B, thay 1 t ta được toạ độ điểm 1;2;4B
và 0 t ta được toạ độ điểm 2;3; 1 A .
Chọn đáp án : B 
Lưu ý 1: 
- Để viết phương trình tham số của đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số của đường
thẳng ,AB tìm giá trị ,A Bt t để từ phương trình tham số đó ta tìm lại được toạ độ của điểm 
,A B
- Kết quả phương trình tham số có kèm điều kiện của t là đoạn tạo bởi ,A Bt t
- Tuy nhiên phương pháp này chậm và rất khó để chọn phương án như cách cho đề bài này.
Lưu ý 2: 
- Nếu HS nào dùng phương pháp thay toạ độ của mỗi điểm A và B vào phương trình tham
số của từng phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t thì chỉ khi tìm được ,A Bt t là 2 đầu mút của 
đoạn điều kiện được cho kèm theo phương trình tham số, đó mới là phương án đúng. 
VD 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm 1;2; 3 A và 3; 1;1 B . Phương trình
nào sau đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A và B ? 
A.
1 2 3
3 1 1
x y z
. B.
1 2 3
2 3 4
x y z
. 
C.
3 1 1
1 2 3
x y z
. D.
1 2 3
2 3 4
x y z
. 
Hướng dẫn giải: 
Phương pháp tự luận: 
Gọi d là đường thẳng đi qua 2 điểm 1;2; 3 A và 3; 1;1 B . Đường thẳng d đi qua
(1;2; 3) A và có vectơ chỉ phương (2; 3;4) du AB nên có phương trình chính tắc là: 
1 2 3
2 3 4
x y z
. 
Chọn đáp án B. 
Phương pháp trắc nghiệm: 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 88 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Đường thẳng đi qua 1;2; 3 A và 3; 1;1 B có vectơ chỉ phương (2; 3;4) AB nên loại
phương án A và C. Xét thấy điểm (1;2; 3) A thỏa mãn phương trình chính tắc ở phương án B 
nên chọn B là đáp án đúng. 
VD 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng đi qua hai điểm 1; 2;1 , 2;1;3 A B có
phương trình: 
A.
1 2 1
1 3 2
x y z
. B.
1 2 1
1 2 1
x y z
 . 
C.
1 2 1
1 3 2
x y z
. D.
2 1 3
1 3 2
x y z
. 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng AB đi qua 1; 2;1 A và nhận (1;3;2)AB làm một vectơ chỉ phương nên có
phương trình: 
1 2 1
1 3 2
x y z
Chọn đáp án A. 
VD 10. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;2;3)M và (3;0;0)N là 
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. B. 
3
0 2
0 3
x t
y t
z t
. C. 
1 2
2 2
3 3
x t
y t
z t
. D. 
3 2
0 2
0 3
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 2; 2; 3 MN là một véctơ chỉ phương của đường thẳng MN
Chọn đáp án D. 
VD 11. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1; 2; 3) A và (3;0;1)B là 
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. B. 
3
0
1 2
x t
y t
z t
. C. 
1 2
2 2
3 3
x t
y t
z t
. D. 
3 2
0 2
0 3
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 2;2;4 AB nên một véctơ chỉ phương của đường thẳng AB là 1;1;2 u
Chọn đáp án B. 
VD 12. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1; 2; 3) A và (3;0;1)B là 
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. B. 
2
1
1 2
x t
y t
z t
. C. 
1 2
2 2
3 3
x t
y t
z t
. D. 
3 2
0 2
0 3
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 2;2;4 AB nên một véctơ chỉ phương của đường thẳng AB là 1;1;2 u
Mặt khác tọa độ trung điểm của AB là điểm 2; 1; 1 I
Chọn đáp án B. 
Dạng 3. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm 0M và song song với 1 đường thẳng cho trước. 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 89 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Phương pháp giải: 
 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là u
 Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương cùng phương với
véctơ u
VD 13. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz phương trình của đường thẳng đi qua điểm 2;1;2 M
và song song với trục Ox là: 
A.
1 2
2
x t
y t
z t
. B.
2
1
2
x
y t
z
. C.
2
1
2
x t
y
z
. D.
2
1
2
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị (1;0;0) i làm một VTCP 
Đường thẳng d song song với trục hoành cũng phải nhận (1;0;0) i làm VTCP luôn. 
Ngoài ra 2;1;2 M d nên viết PTTS của d ta chọn được phương án C
Chọn đáp án C. 
VD 14. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;2;3)M và song song với đường 
thẳng d có phương trình 
1
3 4
1 5
x t
y t
z t
 là 
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
 . B. 
3
0 4
0 5
x t
y t
z t
. C. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
. D. 
3
0 4
0 5
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 1; 4; 5 u là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d
Vì €d nên véctơ 1; 4; 5 u cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng 
 Chọn đáp án A. 
VD 15. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;1;1)M và song song với đường 
thẳng d có phương trình 
1
3 4
1 5
x t
y t
z t
 là 
A. 
1
1 4
1 5
x t
y t
z t
. B. 
1
1 4
1 5
x t
y t
z t
. C. 
1
1 4
1 5
x t
y t
z t
. D. 
3
1 4
1 5
x t
y t
z t
. 
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 1; 4; 5 u là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d
Vì d€ nên véctơ 1;4;5 a cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng 
 Chọn đáp án B. 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 90 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
VD 16. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;1;1)M và song song với đường 
thẳng d có phương trình 
1
3
1 2
x t
y
z t
 là 
A. 
1 2
1
1
x t
y
z t
B. 
1
1
1 2
x t
y
z t
C. 
1 2
1
1 4
x t
y
z t
D. 
1 3
1 4
1 5
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 1;0; 2 u là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d
Vì d€ nên véctơ 2;0;4 a cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng 
 Chọn đáp án C. 
Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm 0M và vuông góc với 1 mặt phẳng ( )P cho trước. 
Phương pháp giải: 
 Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P là n
 Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua điểm 0M và có véctơ chỉ phương cùng phương 
với véctơ n
VD 17. Trong không gian với hệ toạ độ ,Oxyz gọi là đường thẳng đi qua điểm 2;0; 3 M và
vuông góc với mặt phẳng : 2 3 5 4 0 x y z . Phương trình chính tắc của là:
A.
2 3
1 3 5
x y z
. B.
2 3
2 3 5
x y z
. 
C.
2 3
2 3 5
x y z
. D.
2 3
2 3 5
x y z
. 
Hướng dẫn giải 
 : 2 3 5 4 0 x y z có VTPT 2; 3;5 n
Do ( )  nên nhận n làm một VTCP. 
Ngoài ra, 2;0; 3 M nên phương trình chính tắc của 
2 3
:
2 3 5
x y z
Chọn đáp án C. 
VD 18. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;2;3)M và vuông góc với mặt 
phẳng P có phương trình 4 5 3 0 x y z là
A. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
 B. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
C. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
D. 
1
2 4
3 5
x t
y t
z t
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 1; 4; 5 n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Vì ( )  P nên véctơ 1; 4; 5 n cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng 
Chọn đáp án A. 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 91 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
VD 19. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;2;3)M và vuông góc với mặt 
phẳng P có phương trình 5 3 0 x z là
A. 
1
2
3 5
x t
y
z t
B. 
1
2
3 5
x t
y
z t
C. 
1
2
3 5
x t
y
z t
D. 
1
2
3 5
x t
y
z t
Hướng dẫn giải 
Ta có véctơ 1;0; 5 n là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng P
Vì ( )  P nên véctơ 1;0;5 u cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng 
 Chọn đáp án A. 
VD 20. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm (1;2;3)M và vuông góc với mặt 
phẳng Oxy  ... ài 2. 
a) Mặt cầu S có tâm 2,1; 3 ; 2 1 9 12 2 6I R 
 P vuông góc với d nên nhận 2; 1;1du làm một VTPT Phương trình mặt phẳng P
có dạng : 2 0x y z m 
Do P tiếp xúc với S nên : ,d I P R 
8
2 6
6
m 
 4; 20m m 
Vậy phương trình mặt phẳng 1 2: 2 4 0, : 2 20 0P x y z P x y z 
b) Gọi I là tâm của mặt cầu S I đối xứng với I qua đường thẳng d
Gọi R là bán kính mặt cầu S 2 6R R 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng 'd 
Mặt phẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng d :
 2 2 1 3 0 2 8 0x y z x y z 
Ta có : H d H  thỏa hệ : 
2 8 0
2
1
2
x y z
x t
y t
z t
3
6 9 0
2
t t 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 208 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
5 1
3, ,
2 2
H
Mà H là trung điểm của ' 4;4;4II I 
Phương trình mặt cầu 
2 2 2
: 4 4 4 24S x y z 
Hướng dẫn giải đề số 4 
Bài 1. Ta có : 
1 2 6 5 8
;
1 4 9 14
R d I P R
a) Phương trình mặt cầu 
2 2 2 32
: 1 1 2
7
S x y z 
Gọi 
Qn là một VTPT của mặt phẳng Q
Ta có: 2;2;3 , 1; 2;3PAB n ; 12; 3; 6 3 4; 1; 2Q Pn AB n 
 Phương trình mặt phẳng : 4 2 9 0Q x y z 
b) Gọi u là một VTCP của đường thẳng 
Ta có : ; 12; 3; 6 3 4; 1; 2Pu AB n Phương trình đường thẳng
2 4
: 1
2
x t
y t
z t
c) Gọi K là trung điểm của AB
1
2;0;
2
K
Ta có : 2 2MA MB MK MK 
Để MA MB nhỏ nhất MK nhỏ nhất MK P  Đường thẳng
2
: 2
1
3
2
x t
MK y t
z t
 M MK P M  thỏa hệ : 
2 3 5 0
2
9 9 65 9 13
14 ; ;2
2 28 28 14 28
1
3
2
x y z
x t
t t My t
z t
Bài 2. Mặt phẳng ABC có dạng : 1 0
x y z
bcx acy abz abc
a b c
Ta có: 
2 2 2 2 2 2
,
abc
d O ABC
b c a c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22
1 1 1 1
;
a b a c b c
a b c c b ad O ABC
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3
3
a b c
a b c
 2
1
; 1
3
d O ABC a b c : 1 0ABC x y z 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 209 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
PHẦN 5: GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa 
độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh 
của hình. 
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O ) 
Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một 
số điểm cần thiết) 
Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào: 
– Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).
– Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng
hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ
– Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.
– Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán
Các dạng toán thường gặp:
 Độ dài đọan thẳng
 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng
 Góc giữa hai đường thẳng
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
 Góc giữa hai mặt phẳng
 Thể tích khối đa diện
 Diện tích thiết diện
 Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc
 Bài toán cực trị, quỹ tích
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Hình chóp tam giác
Dạng 1. Dạng tam diện vuông 
Ví dụ 1. Cho hình chóp .O ABC có OA a , OB b , OC c vuông góc nhau từng đôi một. Gọi M là 
điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp OBC , mp OCA ,
 mp OAB là 1, 2 , 3 . Giá trị , ,a b c để thể tích khối chóp .O ABC nhỏ nhất là
A. 3; 6; 9a b c . B. 1; 1; 1a b c . C. a b c . D. 1; 2; 3a b c . 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 0;0;0O , ; 0; 0A a , 0; ; 0B b , 0; 0;C c .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 210 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
 , 3d M OAB 3Mz . Tương tự 1; 2; 3M . 
PT : 1
x y z
mp ABC
a b c
 . Vì ( )M ABC 
1 2 3
1
a b c
 (1).
.
1
6
O ABCV abc (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
1
27
6
abc . 
(2) min
1 2 3 1
27
3
V
a b c
 .
Vậy 3; 6; 9a b c 
Dạng 2. Dạng tứ diện có một cạnh vuông góc một mặt tại góc nhọn của tam giác vuông 
Ví dụ 2. Tứ diện .S ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ABC vuông tại C . Độ dài của các cạnh 
4SA , 3AC , 1BC . Gọi M là trung điểm của cạnh AB , H là điểm đối xứng của C qua 
M . Tính góc là góc phẳng nhị diện  , ,H SB C (tính đến độ, phút, giây)
A. 82 35 57
o . B. 97 24 2o . C. 63 30o . D. 15 14 13o . 
Hướng dẫn giải 
x
3
y
4
z
1M
B(1;3;0)
A
H(1;0;0)
C(0;3;0)
S(0;0;4)
I
K
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ: 0;0;0O A ; 1;3;0B ; 0;3;0C ;
 0;0;4S và 1;0;0H
Dựng mp P qua H vuông góc SB tại I cắt đường thẳng SC tại K , dễ thấy  , ,H SB C = ,IH IK (1) 
* Tìm toạ độ véc tơ
 1;3; 4SB và 0;3; 4SC , 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 211 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
* Phương trình tham số đường thẳng
1
: 3 3
4
x t
SB y t
z t
, 
0
: 3 3
4
x
SC y t
z t
, phương trình mp 
 : 3 4 1 0P x y z 
* Tìm toạ độ giao điểm I SB P  và K SC P  
17 51 18
; ;
26 26 13
I
, 
51 18
0; ;
26 13
K
. Toạ độ véctơ 
9 51 18
; ;
26 26 13
IH
, 
17
;0;0
26
IK
. 
   
.
cos cos , , cos ,
.
IH IK
H SB C IH IK
IH IK
 =
153
676 0.1427
3 442 17
.
26 26
 98 12 13o 
Dạng 3. Dạng hình chóp tam giác đều .S ABC : 
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h . Gọi O là tâm tam giác đều ABC . 
Trong mp ABC , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA . Đặt SO h , chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta
được: 
 0;0;0O , 
3
;0;0
3
a
A
, 0;0;S h . Suy ra toạ độ 
3
;0;0
6
a
I
, 
3
; ;0
6 2
a a
B
, 
3
C ; ;0
6 2
a a 
2. Hình chóp tứ giác
Dạng 1. Hình chóp .S ABCD có cạnh SA ABCD và đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình 
chữ nhật): Ta chọn hệ trục toạ độ như dạng tam diện vuông 
a 
a 
a 
x 
y 
z 
O 
I 
C B 
A 
S 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 212 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
z
x
y
C(a;a;0)
A(0;0;0)
B(a;0;0)
D(0;a;0)
S(0;0;h)
Dạng 2. Hình chóp tứ giác đều .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O và 
có đường cao SO ABCD : Ta chọn hệ trục toạ độ: Tia OA , OB , OS lần lượt là Ox , 
Oy , Oz . Giả sử số đo SO h , OA a , OB b thì ta có toạ độ 0;0;0O , ;0;0A a , 
 0; ;0B b , 0;0;S h ;0;0C a , 0; ;0D b . 
z
x
y
O
A(a;0;0)
C(-a;0;0) B(0;b;0)
D(0;-b;0)
S(0;0;h)
Dạng 3. Hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh AB b , tam giác SAD 
đều cạnh a và mp SAD ABCD : Ta gọi H là trung điểm AD , trong ABCD ta vẽ 
tia Hy AD . Ta chọn hệ trục toạ độ Hxyz : 0;0;0H , ;0;0
2
a
A
, B ;b;0
2
a 
, 
C ;b;0
2
a 
, D ;0;0
2
a 
, 
3
S 0;0;
2
a 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 213 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
3. Hình lăng trụ đứng
Dạng 1. Hình lập phương .ABCD A B C D cạnh bằng a : Chọn hệ trục toạ độ sao cho: (0;0;0)A , 
( ;0;0)B a , ( ; ;0)C a a , D(0; ;0)a ; (0;0; )A a , ( ;0; )B a a , ( ; ; )C a a a , D (0; ; )a a 
x
y
z
C'
D'
B'
C
A(0;0;0) D(0;a;0)
B(a;0;0)
A'(0;0;a)
Dạng 2. Hình hộp chữ nhật .ABCD A B C D cạnh AB a , AD b , AA c : Chọn hệ trục toạ độ 
sao cho: (0;0;0)A , ( ;0;0)B a , ( ; ;0)C a b , (0; ;0)D b ; (0;0; )A c , ( ;0; )B a c , ( ; ; )C a b c , 
(0; ;c)D b 
b
a
c
x
y
z
C'
D'
B'
C
A(0;0;0) D(0;b;0)
B(a;0;0)
A'(0;0;c)
y 
x 
z 
H (0;0;0) 
;0;0
2
a
A
; ;0
2
a
B b
; ;0
2
a
C b
;0;0
2
a
D
3
0;0;
2
a
S
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 214 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Dạng 3. Hình hộp đứng đáy hình thoi .ABCD A B C D : Chọn hệ trục toạ độ sao cho: gốc trùng 
với giao điểm O của hai đường chéo AC , BD ; hai trục ,Ox Oy lần lượt chứa hai đường 
chéo của hình thoi, trục Oz đi qua tâm hai đáy. 
x
y
z
O'
C'
D'
B'
O
C
A
D
B
A'
B. BÀI TẬP CÓ GIẢI
Câu 1. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , ,AB AC AD vuông góc nhau từng đôi một, có độ dài 3AB , 
4AC AD . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng BCD
A. 
6 34
17
d . B. 
12
5
d . C. 
1
2
d . D. 
34
17
d 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: 0;0;0O A ; 4;0;0D ; 0;4;0C ;
 0;0;3B
* Tìm phương trình mặt phẳng BCD : 1
4 4 3
x y z
 3 3 4 12 0x y z 
z 
O 
B 
y 
C 
x 
D 
A 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 215 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
* Tính khoảng cách d =  ,d A BCD =
2 2 2
12 6 34
173 3 4
Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC và AD a , có tam giác ABC
vuông tại A và AC b , AB c . Tính diện tích S của tam giác BCD theo , ,a b c . 
A. 
1
2
S abc . B. . 2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a . 
C. 
1
2
S ab bc ca . D. 2 2 2 2 2 2
1
2
S a b b c c a . 
Hướng dẫn giải 
x
y
z
A
B
C
D
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: 0;0;0O A ; ;0;0B c ; 0; ;0C b ;
 0;0;D a
* Tìm toạ độ véc tơ
 Cạnh của tam giác BCD : ; ;0BC c b , ;0;BD c a 
 Véctơ tích có hướng ; ; ;BC BD ab ac bc 
* Sử dụng công thức tính diện tích tam giác
1
,
2
BCDS BC BD =
2 2 2 2 2 21
2
a b b c c a 
Câu 3. Cho tứ diện .O ABC có các tam giác OAB , OBC , OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O . Gọi 
 , ,   lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng OBC , OCA , OAB với mặt phẳng
 ABC . Tìm hệ thức lượng giác liên hệ giữa , ,   . 
A. 2 2 2sin sin sin 1   . B. 60o   . 
C. 2 2 2cos cos cos 1   . D. cos 2 cos 2 cos 2 1   . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 216 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
B'
H
O
A
B
C
A'
C'
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: (0;0;0)O ; ( ;0;0)A a ; (0; ;0)B b ; 
(0;0; )C c . 
 ; ; 0AB a b , ; 0;AC a c 
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng ABC : , ; ;n AB AC bc ca ab 
 Mặt phẳng OBC : 1; 0; 0i (vì: ( )Ox OBC )
 Mặt phẳng OCA : 0; 1; 0j (vì: ( )Oy OCA )
 Mặt phẳng OAB : 0; 0; 1k (vì: ( )Oz OAB )
* Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
  cos cos ,OBC ABC 
2 2 2 2 2 2
cos
bc
b c c a a b
  cos cos ,OCA ABC 
2 2 2 2 2 2
cos
ac
b c c a a b
 
2 2 2 2 2 2
cos
ab
b c c a a b
 
* Biến đổi và kết luận  cos cos ,OAB ABC 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
b c
b c c a a b
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
c a
b c c a a b
 
2 2
2
2 2 2 2 2 2
cos
a b
b c c a a b
 
Vậy 2 2 2cos cos cos 1   
Câu 4. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB AC a , có SA vuông góc 
với mặt phẳng ABC và 
2
2a
SA . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC 
A. 120o . B. 30o . C. 45o . D. 60o . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 217 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
A
B
C
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: 0;0;0O A ; ;0;0B a ; 0; ;0C a ;
2
0;0;
2
a
S
. 
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng . SAC .: 1; 0; 0i (vì ( )Ox SAC )
 Mặt phẳng SBC : có cặp véc tơ chỉ phương
2
;0;
2
a
SB a
, 
2
0; ;
2
a
SC a
 véc
tơ pháp tuyến là 
2 2
22 2, ; ;
2 2
a a
SB SC a
 hay là 1;1; 2n 
* Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và SBC 
. 1
cos
2.
i n
i n
 60o . 
Câu 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB AC a , có SA vuông góc 
với mặt phẳng ABC và 
2
2a
SA . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AI và SC , 
với I là trung điểm cạnh BC . 
A. 
2
a
d . B. d a . C. 
2
2
a
d . D. 
3
2
a
d 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 218 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
x
y
z
I
A
B
C
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau: 0;0;0O A ; ;0;0B a ; 0; ;0C a ;
2
0;0;
2
a
S
. 
 ; ; 0AB a b , 0; ;0AC a 
* Tìm vectơ pháp tuyến của
 Mặt phẳng SAC : 1;0;0i (vì ( )Ox SAC )
 Mặt phẳng SBC : có cặp véc tơ chỉ phương
2 2
;0; ; 0; ;
2 2
a a
SB a SC a
 véc
tơ pháp tuyến là 
2 2
22 2, ; ;
2 2
a a
SB SC a
 hay là 1;1; 2n 
* Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AI và SC
 Vì I là trung điểm của BC ; ;0
2 2
a a
I
 nên ta có: ; ;0
2 2
a a
AI
, 
2
0; ;
2
a
SC a
, 
2 2 22 2
, ; ;
4 4 2
a a a
AI SC
, 
2
0;0;
2
a
AS
3 2
, .
4
a
AI SC AS , mà 
4 4 4 2
,
8 8 4 2
a a a a
AI SC . 
 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC là
3
2
, . 2 2
, .
4 2,
AI SC AS a a
f AI SC
aAI SC
Câu 6. Cho hình chóp .O ABC có OA a , OB b , OC c vuông góc nhau từng đôi một. Gọi M là 
điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp OBC , mp OCA ,
 mp OAB là 1, 2, 3. Giá trị , ,a b c để thể tích khối chóp .O ABC nhỏ nhất là
A. 1; 1; 1a b c . B. 3; 6; 9a b c . C. a b c . D. 1; 2; 3a b c . 
Hướng dẫn giải 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 219 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: 0;0;0O , ;0;0A a , 0; ;0B b , 0;0;C c .
 , 3d M OAB . . 3Mz . Tương tự 1;2;3M . 
PT : 1
x y z
mp ABC
a b c
 . 
1 2 3
( ) 1M ABC
a b c
 (1).
.
1
6
O ABCV abc (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
1
27
6
abc . 
(2) min
1 2 3 1
27
3
V
a b c
 . 
Vậy 3; 6; 9a b c 
Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có độ dài cạnh đáy là a . Gọi ,M N lần lượt là là trung 
điểm ,SB SC . Cho biết AMN vuông góc với SBC ; Tính theo a diện tích AMN . 
A. .
2 3
4
AMN
a
S .. B. 
2
2
AMN
a
S . C. 
2 10
16
AMN
a
S . D. 
2 10
8
AMN
a
S . 
Hướng dẫn giải 
a
a
a
x
y
z
MN
O
I
C B
A
S
Gọi O là hình chiếu của S trên ABC , ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm 
của BC , ta có: 
3 3
2 2
a
AI BC 
3
3
a
OA , 
3
6
a
OI . 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 220 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
Trong mp ABC , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA . Đặt SO h , chọn hệ trục tọa độ như hình 
vẽ ta được: 0; 0; 0O ,
3
;0;0
3
a
A
, 0; 0;S h
Suy ra toa độ 
3
;0;0
6
a
I
, 
3
; ;0
6 2
a a
B
, 
3
C ; ;0
6 2
a a 
, 
3
M ; ;
12 4 2
a a h 
 và 
3
; ;
12 4 2
a a h
N
. 
* Véctơ pháp tuyến mp AMN : ,AMNn AM AN =
25 3
;0;
4 24
ah a 
, mp SBC : 
 ,SBCn SB SC =
2 3
;0;
6
a
ah
. Từ giả thiết ( ) ( )AMN SBC . 0AMN SBCn n 
2
2 5
12
a
h . 
* Diện tích tam giác AMN : 
21 10
, 
2 16
AMN
a
S AM AN 
Câu 8. Cho hình lăng trụ tam giác 1 1 1.ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , có 1 2AA a và 
vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi D là trung điểm của 1BB ; Lấy điểm M di động trên 
cạnh 1AA . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác 1MC D . 
A. 
1
23
4
MC D
a
S . B. 
1
25
4
MC D
a
S . C. 
1
2 42
4
MC D
a
S . D. 
1
2 15
4
MC D
a
S . 
Hướng dẫn giải 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho 0;0;0O A ; B Oy : 0; ;0B a , 1A Oz : 1 0;0;2A a
 1
3
; ;2
2 2
a a
C a
và 0; ;D a a
Do M di động trên 1AA có tọa độ 0;0;M t với  0; 2t a 
Ta có: 
1
1
1
,
2
DC MS DC DM 
z 
x C 
C1
M
A 
A1 B1
B 
D 
y 
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 221 
SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM 
1
3
; ;
2 2
a a
DC a
, 0; ;DM a t a ,DG DM 3 ; 3( ); 32
a
t a t a a
 2 2 2 2 2, ( 3 ) 3( ) 3 4 12 15
2 2
a a
DG DM t a t a a t at a . 
1
2 21 . . 4 12 15
2 2
DC M
a
S t at a 
Xét 2 24 12 15f t t at a với  0; 2t a . Ta có 8 12f t t a ; 
3
0
2
a
f t t 
Giá trị lớn nhất của hàm số đạt được khi 0t M A , vậy GTLN của diện tích là 
1
2 15
4
MC D
a
S